102

7. ВЕЙВЛЕТ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИЛИ РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ВСПЛЕСКАМ

Из формулы прямого преобразования Фурье вытекает главный его недостаток: интегральная оценка всех частотных составляющих спектра вне зависимости от времени их существования. Преобразование Фурье прекрасно подходит для стационарных сигналов, но не годится для нестационарных, у которых определённые частотные компоненты существуют только в определённые промежутки времени.

Поэтому можно выделить следующие недостатки преобразования Фурье:

•неприменимость к анализу нестационарных сигналов,

•преобразование Фурье для одной заданной частоты требует знание сигнала в прошлом и будущем,

•из-за неизбежного ограничения числа гармоник или спектра – невозможно точное восстановление сигнала,

•отдельные особенности сигнала: разрывы или пики – вызывают незначительное изменение спектрального образа сигнала во всём интервале частот,

•по составу высших составляющих спектра практически невозможно оценить местоположение особенностей на временной зависимости сигнала.

Проблемы спектрального анализа ограниченных во времени сигналов частично решаются с помощью оконного преобразования Фурье [17].

Идея данного преобразования заключается в разбиении временного интервала на ряд промежутков – окон. Для каждого из окон вычисляется своё Фурье преобразование. Таким образом, можно перейти к частотно-временному представлению сигнала.

Оконное преобразование можно описать следующим образом:

−∞

где w(t-b) – оконная функция, а параметр b задаёт сдвиг по временной оси.

У оконного преобразования Фурье есть ряд ограничений: выбирая окно с малой шириной по времени – получают высокое временное разрешение, но низкое частотное, и наоборот, взяв широкое временное окно, получают хорошее частотное разрешение, но малое временное.

Другим видом преобразований сигнала, не обладающих ограничениями, присущими оконному преобразованию Фурье, являются вейвлет преобразования [1].

103

7.1. Понятие о Wavelet-преобразованиях. Преобразование Хаара

В ряде случаев оказывается более удобным в качестве базисов разложения использовать такие системы функций, для которых коэффициенты разложения учитывают поведение исходной функции лишь в нескольких близкорасположенных точках.

Использование такого базиса по своей сути означает переход от частотного анализа к масштабному, т.е. функция f(x) анализируется с помощью некоторой “стандартной” математической функции, изменяемой по масштабу и сдвигу на некоторую величину.

Первое упоминание об этих функциях появилось в работах Хаара в 1909 году. В 30-е годы начались более детальные исследования возможностей представления сигналов с использованием базисных масштабируемых функций. Пол Леви, используя масштабируемую базисную функцию типа функции Хаара, исследовал разновидность случайного сигнала - броуновское движение. Он обнаружил преимущество в применении базисных функций Хаара перед функциями Фурье.

В период 60-х - 80-х годов Вейс и Кофман исследовали простейшие элементы функционального пространства, названные ими атомами, с целью обнаружить атомы для произвольной функции и найти "правила сборки", позволяющие реконструировать все элементы функционального пространства, используя эти атомы. В 1980 году Гроссман и Марлет определили такие функции как Wavelet-функции. В переводе с английского Wavelet – всплеск, поэтому в отечественной литературе встречается термин «разложение по всплескам» наряду с вейвлет-анализом.

В конце 80-х г.г. Мейер и Добичи на основе исследований Марлета создали ортогональные базисы Wavelet-функций, которые и стали основой современных Wavelet-функций. Сходство Wavelet и Фурье преобразований состоит в следующем:

1. Оба они являются линейными преобразованиями и предназначены для обработки блоков данных, содержащих log2 N элементов.

2.Обратные матрицы ДПФ и DWT (discret wavelet transform) равны транспонированной, причем строки самих матриц содержат функции cos(x) и sin(x), а для DWT - более сложные базисные функции - wavelet.

Наиболее важное различие между этими двумя видами преобразований состоит в том, что отдельные функции wavelet локализованы в пространстве, а синусные и косинусные - нет. Благодаря этой особенности, DWT находит большое число применений, в том числе для сжатия данных, распознавания образов и подавления шумовой составляющей принимаемого сигнала.

Преобразование Wavelet состоит из неограниченного набора функций. Семейство Wavelet различают по тому, насколько компактны базисные функции в пространстве и насколько они гладки. Некоторые их них имеют фрактальную структуру. В каждом семействе они могут быть разбиты на подклассы по числу коэффициентов и уровню итераций. Чаще всего внутри семейства функция классифицируется по номеру моментов исчезновения.

где s и l - целые числа, которые масштабируют и сдвигают материнскую функцию W(x) для создания wavelet.

Индекс масштаба s показывает ширину wavelet, а индекс смещения l определяет ее позицию. Материнские функции масштабированы или растянуты коэффициентом, кратным степени 2 и приведены к целому. Таким образом, если известна материнская функция, то может быть построен и весь базис.

В свою очередь, само Wawelet-преобразование может быть записано в виде [1]:

N-2

V(x) = ∑(-1)k zk+l W(2x+l) (7.3)

k=1

где Zk+l – отсчеты исходного сигнала.

Метод разложения по всплескам широко используется для выделения шумовой компоненты при обработке данных.

К wavelet-подобным функциям относятся функции Хаара [6]. Для N=4 и N=8 матрицы ядра преобразования имеют вид:

Основные свойства матрицы ядра преобразования Хаара состоят в следующем:

а) ее элементы не мультипликативны; б) матрица не симметрична, откуда следует, что для обратного преобразования

матрицу ядра необходимо транспонировать, т.е.

XN-1 = XNT

в) строки матрицы определяют периодические функции с периодом N. Однако матрица ядра преобразования Хаара является не

ортонормированной, т.е. для данного преобразования не выполняется теорема Парсеваля. Поэтому для выполнения теоремы Парсеваля требуется ввести дополнительную нормировку, такая нормировка заключается в умножении на