Определители матриц

Для каждой квадратной матрицы А вводится число |А|, которое называют ее определителем. Иногда его еще обозначают буквой .

Это понятие является важным для решения ряда практических задач. Определим его через способ вычисления.

Для матрицы А первого порядка ее определителем называют ее единственный элемент |А| = ₁ = а₁₁.

Для матрицы А второго порядка ее определителем называют число, которое вычисляют по формуле |А| = ₂ = а₁₁* а₂₂ – а₂₁* а₁₂

Для матрицы А третьего порядка ее определителем называют число, которое вычисляют по формуле

Оно представляет алгебраическую сумму, состоящую из 6 слагаемых, в каждое из которых входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Для запоминания формулы определителя принято пользоваться так называемым правилом треугольников или правилом Сарруса (рисунок 6.1).

Рисунок 6.1 – Правило треугольников

На рисунке 6.1 схема слева показывает, каким образом выбирать элементы для слагаемых со знаком «плюс», - они находятся на главной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых ей параллельны. Схема слева используется для слагаемых со знаком «минус»; на ней вместо главной диагонали берется так называемая побочная.

Определители более высоких порядков вычисляют рекуррентным способом, т.е. определитель четвертого порядка через определитель третьего порядка, определитель пятого порядка через определитель четвертого порядка и т.д. Для описания этого способа необходимо ввести понятия минора и алгебраического дополнения элемента матрицы (сразу же отметим, что сам способ, который будет рассмотрен далее, подходит и для определителей третьего и второго порядка).

Минором М_ij элемента а_ij матрицы n-го порядка называют определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Каждая матрица n-го порядка имеет n² миноров (n-1)-го порядка.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента а_ij матрицы n-го порядка называют его минор, взятый со знаком (-1)^(i+j):

A_ij = (-1)^(i+j)*М_ij

Из определения следует, что A_ij = М_ij, если сумма номеров строки и столбца четная, и A_ij = -М_ij, если она нечетная.

Например, если , то _; и т.д.

Способ вычисления определителя состоит в следующем: определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по элементам i-й строки; );

(разложение по элементам j-го столбца; ).

Например,

Отметим, что и в общем случае определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Сформулируем основные свойства определителей.

1. Если какая-либо строка или столбец матрицы состоит из одних нулей, то определитель равен 0 (следует из способа расчета).

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на одно и то же число, то и ее определитель умножится на это число (также следует из способа расчета – на расчет алгебраических дополнений общий множитель не влияет, а все остальные слагаемые умножены именно на это число).

Замечание: за знак определителя можно выносить общий множитель именно строки или столбца (в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель всех ее элементов). Например, , но .

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: |А^Т| = |А| (доказательство проводить не будем).

4. При перестановке местами двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

Для доказательства этого свойства вначале предположим, что переставлены две соседние строки матрицы: i-я и (i+1)-я. Для расчета определителя исходной матрицы осуществим разложение по i-й строке, а для определителя новой матрицы (с переставленными строками) – по (i+1)–й (которая в ней такая же, т.е. поэлементно совпадает). Тогда при расчете второго определителя каждое алгебраическое дополнение будет иметь противоположный знак, так как (-1) будет возводиться не в степень (i + j), а в степень (i + 1+ j), а в остальном формулы отличаться не будут. Таким образом, знак определителя изменится на противоположный.

Теперь предположим, что переставлены не соседние, а две произвольные строки, например, i-я и (i+t)-я. Такую перестановку можно представить как последовательное смещение i-й строки на t строк вниз, а (i+t)-й строки - на (t-1) строк вверх¹. При этом знак определителя поменяется (t + t – 1) = 2t – 1 число раз, т.е. нечетное число раз. Следовательно, в конечном итоге он поменяется на противоположный.

Аналогичные рассуждения можно поменять для столбцов.

5. Если матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

В самом деле, если одинаковые строки (столбцы) переставить местами, то будет получена та же самая матрица с тем же самым определителей. С другой стороны, по предыдущему свойству он должен поменять знак, т.е.  = -   = 0.

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то определитель равен 0.

Это свойство основано на предыдущем свойстве и выносе за скобку общего множителя (после выноса за скобку коэффициента пропорциональности в матрице будут одинаковые строки или столбцы, и в результате этот коэффициент будет умножаться на ноль).

7. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) той же матрицы всегда равна 0: при i  j.

Чтобы доказать это свойство, достаточно заменить в матрице А j–ю строку на i–ю. В полученной матрице будет две одинаковые строки, поэтому ее определитель равен 0. С другой стороны, его можно вычислить разложением по элементам j -й строки: .

8. Определитель матрицы не изменяется, если к элементам строки или столбца матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число.

В самом деле, пусть к элементам i–й строки прибавляют элементы j-й строки, умноженные на . Тогда элементы новой i–й строки примут вид (a_ik + a_jk, k). Вычислим определитель новой матрицы разложением по элементам i-й строке (отметим, что алгебраические дополнения ее элементов при этом не изменятся):

Мы получили, что этот определитель не отличается от определителя исходной матрицы.

9. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей: |АВ| = |А| * |В| (доказательство проводить не будем).

Рассмотренные выше свойства определителей используют для упрощения их вычисления. Обычно стараются преобразовать матрицу к такому виду, чтобы какой-либо столбец или строка содержали как можно больше нулей. После этого определитель легко найти разложением по этой строке или столбцу.