Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве

Уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Уравнение прямой в отрезках

Общее уравнение прямой

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя переменными в общем виде: ах + bу + с = 0, в котором коэффициентыaиbне равны одновременно нулю, т.е.a²+b²≠ 0.

Пусть b≠ 0. Тогда уравнение ах +bу + с = 0 можно записать в виде у = (-а/b)х – с/b, т.е. получено уравнение прямой с угловым коэффициентомk= -а/b. При этом еслиa≠ 0, а с = 0, то у =kx, т.е. получено уравнение прямой, проходящей через начало координат. Еслиa= 0, а с ≠ 0, то у = – с/b=const, т.е. получено уравнение прямой, параллельной оси абсцисс. Еслиa= с = 0, то у = 0 (уравнение оси абсцисс).

Пусть b= 0. Тогда уравнение ах +bу + с = 0 примет вид х = -с/а. Если с ≠ 0, то получим уравнение прямой, параллельной оси ординат, а если с = 0, то саму ось ординат (х = 0).

Таким образом, во всех рассмотренных случаях уравнение ах + bу + + с = 0 есть уравнение прямой линии на плоскости. Его называютобщим уравнением прямой.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть прямые заданы общими уравнениями а₁х +b₁у + с₁= 0 и а₂х +b₂у + с₂= 0. Тогда их угловые коэффициентыk₁= -а₁/b₁кг иk₂= -а₂/b₂, а условие параллельности примет вид а₁/b₁= а₂/b₂Таким образом,условие параллельностипрямых, заданных общими уравнениями, - пропорциональность коэффициентов при переменных.

Условие перпендикулярности для таких прямых примет вид (-а₁/b₁)*(-а₂/b₂) = - 1; а₁а₂+b₁b₂= 0 (равенство нулю суммы произведений коэффициентов при переменных).

Точка пересечения прямых

Пусть прямые заданы общими уравнениями а₁х +b₁у + с₁= 0 и а₂х +b₂у + с₂= 0. Координаты их точки пересечения должны удовлетворять уравнению каждой прямой, т.е. они могут быть найдены из системы уравнений:

а₁х +b₁у + с₁= 0

а₂х +b₂у + с₂= 0

Если прямые не параллельны, такая система всегда имеет единственное решение - точку пересечения этих прямых.

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на эту прямую.

Пусть даны точка М(х₀,у₀) и прямая ах +bу + с = 0. Для определения расстояния d от точки до прямой необходимо:

а) составить уравнение прямой, перпендикулярной данной, проходящей через точку М;

б) найти точку пересечения двух прямых N;

в) найти расстояние между двумя точками М и Nпо формуле нахождения длины отрезка.

Опустим преобразования. Формула примет вид:

1Рассмотренный способ приведения квадратичной формы к каноническому виду удобно использовать, когда при квадратах переменных встречаются ненулевые коэффициенты. Если их нет, осуществить преобразование все равно возможно, но приходится использовать некоторые другие приемы. Например, пустьf(х₁, х₂) = 2x₁х₂= x₁² + 2x₁х₂ + х₂²- x₁²- х₂²=

= (x₁+ х₂)²- x₁²- х₂²= (x₁+ х₂)²– (x₁²- 2x₁х₂ + х₂²) - 2x₁х₂ = (x₁+ х₂)²– - (x₁- х₂)²- 2x₁х₂; 4x₁х₂= (x₁+ х₂)²– (x₁- х₂)²;f(х₁, х₂) = 2x₁х₂= (1/2)* *(x₁+ х₂)²– (1/2)*(x₁- х₂)²=f(y₁,y₂) = (1/2)y₁²– (1/2)y₂², гдеy₁= х₁+ х₂, аy₂= х₁– х₂.