1.5 Построение частотного графика нелинейной бортовой качки на спокойной воде.

Для расчета бортовой качки судна на волнении необходимо знать периоды качки на спокойной воде в широком диапазоне углов крена-теоретически от нуля до угла заката диаграммы статической остойчивости. Однако этому углу соответствует состояние неустойчивого равновесия судна, при котором период обращается в бесконечность , что затрудняет построение кривой периодов в районе угла заката. Частота качки вычисляемая по формуле

(1.26)

всюду остается конечной, поэтому частотный график более удобен для использования.

Чтобы построить частотный график , нужно вычислить частоту для углов качки , применяя каждый раз формулу для с использованием способов В.Г. Власова,А.Б. Карпова, В.Г. Сизова или Г.Е. Павленко.

Углу качки, равному нулю, соответствует частота, вычисленная по формуле линейной теории

(1.27)

Углу заката диаграммы статической остойчивости соответствует нулевое значение частоты.

По результатам вычислений строят частотные графики нелинейной бортовой качки на спокойной воде. По оси ординат откладывают значения расчетных углов крена от нуля до угла заката в радианах или градусах. Слева от оси ординат строится диаграмма остойчивости, справа частотный график. Он оказывается различным для судов с обычной и S–образной диаграммой остойчивости (Рис1.2)

А)

Б)

Рис.1.2 Частотные графики нелинейной бортовой качки: А) с обычной диаграммой остойчивости; Б)-c S-образной

2.Расчет нелинейной бортовой качки на регулярном волнении с заданной диаграммой остойчивости.

2.1. Расчет уравнения бортовой качки в абсолютных координатах

Будем рассматривать укороченное дифференциальное уравнение бортовой качки в абсолютных координатах с учетом нелинейности по восстанавливающему моменту . Оно имеет вид

. (2.1)

Разделив левую и правую часть (2.1) на коэффициент при второй производной, получим

, (2.2)

где

;

; (2.3)

(2.4)

Дифференциальное уравнение (2.2) можно решить методом гармонического баланса. Согласно этому методу считается, что нелинейная качка судна на волнении является гармоническим меняющимся во времени процессом, но ее амплитуды и фазы не постоянны как в линейной теории, а медленно меняющиеся функции времени. В соответствии с этим приближенное решение уравнения (2.2) имеет вид :

. (2.5)

Опуская подробные выкладки, которые изложены в [3] , приведем окончательные выражения для амплитуды и фазы нелинейной бортовой качки.

; (2.6)

(2.7)

Формула для амплитуды выражает зависимость амплитуды от частоты в неявном виде, так как в правую часть входит , которая сама является функцией амплитуды. Поэтому для вычисления амплитуды уравнение (2.6) необходимо решить относительно частоты.

Возводя в квадрат обе части уравнения (2.6) его можно представить в виде биквадратного уравнения относительно

(2.8)

Положительные корни этого уравнения определяют собой два значения частоты , отвечающие данной амплитуде качки.

. (2.9)

Кривая будет иметь максимум при равенстве нулю величины, стоящей под знаком внутреннего радикала. Полагая его равным нулю, получим

. (2.10)

Пренебрегая малой величиной , найдем

. (2.11)

С другой стороны равенство нулю внутреннего радикала дает

(2.12)

Поскольку <<выражение (2.12) можно заменить равенством

. (2.13)

Таким образом максимальное значение амплитуды нелинейной бортовой качки будет находиться в точке пересечения частотного графика и кривой (2.11) и может быть определено графическим путем.