Posob_k_Rgr_N2-1

-30-

3. Выражение изгибающего момента от сосредоточенной пары M

записывается в виде M (x − a)0, где a - абсцисса сечения, в котором приложена пара M .

4.Если при последовательном рассмотрении участков балки в порядке, соответствующем возрастанию координаты x , обнаруживается, что появляющаяся на каком-либо участке распределенная нагрузка не продолжается на последующих участках, то ее следует искусственно продолжить до конца балки, а для исключения действия добавленной нагрузки приложить нагрузку той же интенсивности, но противоположного направления.

5.Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки должно вестись без раскрытия скобок.

В результате использования правил Клебша структура выражения для изгибающего момента должна оказаться следующей. Все слагаемые предыдущего участка должны сохраняться на последующем, а

дополнительные слагаемые последующего участка должны обращаться в нуль на границе с предыдущим участком. При проверке следует контролировать получение такой структуры выражений для моментов, углов поворота и прогибов.

3.2. Определение напряжений при изгибе

Предполагается, что плоскость действия изгибающего момента проходит через главную ось поперечного сечения балки. Нейтральная линия, проходящая через центр тяжести сечения, разделяет зоны сжатых и растянутых волокон. Нормальные напряжения в поперечном сечении балки

пропорциональны расстоянию от нейтральной оси до точки в которой они определяются. Если при правой системе координат ось x направлена вдоль оси балки, ось z совмещена с нейтральной линией, а ось y перпендикулярна ей и направлена вверх в плоскости поперечного сечения (т.е. оси z и

являются главными центральными осями поперечного сечения), нормальные напряжения в волокнах, удаленных на расстояние y

нейтральной линии, записываются в виде

σx = − Mz y .

Iz

где Mz - значение изгибающего момента в данном поперечном сечениее, взятого с учетом его знака (из эпюры моментов); Iz - момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси (совмещенной с

3.3. Касательные напряжения при изгибе

Касательные напряжения, возникающие в волокнах поперечного сечения балки с координатой y, определяются по формуле

τxy = − Qy Szотс ,

Iz b

где Qy − поперечная сила в сечении; Szотс − статический момент

относительно оси z отсеченной координатой y части площади поперечного сечения балки (т.е. расположенной выше (ниже) волокна с координатой y);

b

Рис. 3.3

b − ширина сечения на уровне рассматриваемых волокон (рис. 3.3).

Распределение касательных напряжений по высоте сечения зависит от его геометрической формы.

Эпюра касательных напряжений для прямоугольного сечения показана на рис. 3.3. Наибольшее касательное напряжение при y = 0:

-32-

tmax = 32Qbhy .

Эпюра касательных напряжений для двутаврового сечения показана на на рис. 3.3. Наибольшее касательное напряжение при y = 0

где Szотсmax - статический момент полусечения.

3.4. Подбор поперечного сечения балки и проверка прочности при изгибе

При расчете балок на изгиб исходят из условия прочности по нормальным напряжениям

где Mz max - абсолютное значение максимального изгибающего момента

(выбранное из эпюры изгибающих моментов); Wz - момент сопротивления сечения относительно нейтральной линии (оси z); [σ] - допускаемое нормальное напряжение.

Подбор поперечного сечения производится по наиболее напряженному сечению, в котором изгибающий момент достигает максимальной величины. Из условия прочности определяется требуемый момент сопротивления:

По требуемому моменту сопротивления определяются размеры поперечного сечения балки. Если балка выполняется из прокатного профиля,

необходимый номер профиля подбирается по таблицам сортамента прокатных сталей.

Проверка по касательным напряжениям производится по формуле

-33 -

3.5.Пример расчета балки при плоском изгибе

Задача. Для заданной балки, представленной на рис. 3.4, построить:

1)эпюры перерезывающих сил, изгибающих моментов, углов наклона касательной и прогибов;

2)подобрать двутавровое сечение по максимальным напряжениям с последующей проверкой на максимальные касательные напряжения;

3)рассчитать распределение нормальных и касательных напряжений в произволно выбранном сечении, где Qy ¹ 0, M z ¹ 0 ;

4)произвести проверку на максимальный прогиб.

Материал балки - Ст.3. Допускаемые напряжения [σ]=160 МПа, [τ]=100 МПа. Допускаемые прогиб в пролете - 1/300 расстояния между опора- ми, а консоли - 1/150 длины консоли.

Решение. Введем для рассматриваемой балки единую глобальную декартову систему координат OXYZ следующим образом. Совместим начало координат − точку O с левым торцом балки (рис. 3.5). Ось OX совместим с осью балки, а ось OY направим вертикально вверх. Тогда ось OZ, дополняющая координатную систему до правой системы координат, своим острием будет направлена на читателя (рис. 3.5).

1. Определение опорных реакций. Запишем уравнения равновесия моментов относительно точек А и B (рис.3.4), предварительно заменив опоры соответствующими опорными реакциями, направив их вверх параллельно оси

OY:

- 34 -

153,36

EIz Θ, ,кНм2

40,253

33,36 20,86

2,89

26,42

Рис. 3.5

- 35 -

Поскольку значение опорной реакции RB получилось отрицательным, её действительное направление противоположно указанному на чертеже.

Сделаем проверку:

åY = - P - 2q + RA - RB + 3q = 0;

−15 − 60 +118,75 −133,75 + 90 = 0 .

2.Запись аналитических выражений для величин Mz , Qy, EIzq, EIzv по

участкам. На каждом из трех рассматриваемых участков балки сделаем мысленно разрезы (рис. 3.5) и, рассматривая всякий раз равновесие выделенной левой части балки, действие отброшенной правой части балки заменим внут- ренними силовыми факторами, приложенными к правому торцу левой части балки в соответствии с правилами знаков.

1-й участок [ОА], 0 ≤ x1 ≤ 2м.

Уравнения равновесия:

åY = - P - q × x1 - Qy = 0;

x2

åm1−1 = P × x1 + q × 21 + Mz = 0.

Отсюда, производя соответствующие преобразования и интегрируя уравне- ние для изгибающих моментов, получим:

-37 -

−133,75(x3 − 6);

-22,29(x3 - 6)3 + Сx3 + D.

3. Вычисление постоянных интегрирования C и D. Для вычисления постоянных интегрирования воспользуемся граничными условиями, а именно, условиями равенства нулю прогибов балки на опорах. Тогда можно записать

(рис. 3.5):

при x1 = l1, v1 = 0

или

-2,5x13 - 1,25x14 + Сx1 + D = 0 ;

при x2 = l1 + l2, v2 = 0

или

-2,5x23 - 1,25x24 + 19,79(x2 - 2)3 + 1,25(x2 - 2)4 + 25(x2 - 2)2 + Сx2 + D = 0.

Подставляя в приведенные тождества соответствующие значения величин x и v, получим следующую систему алгебраических уравнений:

ì2C + D = 40; íî6C + D =173,44,

из которой находим: С = 33,36 кН×м2 , а D = -26,72 кН×м3.

Значения величин Mz , Qy, EIzθ, EIzv для отдельных сечений приво-

дятся в таблице. Эпюры для этих величин представлены на рис. 3.5.

- 38 -

4. Подбор двутавра. Максимальные значения изгибающего момента и перерезывающей силы (рис. 3.5):

Mz max = 135 кН×м; Qy max = 90 кН.

Требуемый момент сопротивления определим из неравенства

По моменту сопротивления подбираем двутавр №40 (см. приложение): h = 40 см ; b = 15,5 см ; s = 0,80 см ; t = 1,3 см ; Iz = 18930 см4 ;

Wz = 953 см4 ; Szотсmax = 545 см3. Материал - сталь Е = 2×105 МПа.

7. Построение эпюр распределения касательных и нормальных напря-

жений для сечения. Построим распределение нормальных и касательных напряжений для сечения балки в точке М. В этом сечении MzB = 135 кНм, QyB = 90 кН. Подсчитаем нормальные напряжения в наружных слоях балки:

По результатам расчета строим эпюру нормальных напряжений (рис. 3.6). Построим эпюру касательных напряжений по сечению балки восполь-

зовавшись формулой: