5. Вынужденные колебания

Одним из самых распространенных типов колебаний являются вынужденные колебания. Они наблюдаются как в механических колебательных системах, так и в электрических и находят широкое применение в технике. В некоторых случаях вынужденные колебания являются нежелательными и от них необходимо избавляться.

Вынужденными колебаниями называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием периодически изменяющейся силы

Рассмотрим движение грузика массы m на пружине с коэффициентом жесткости k. Уравнение движения можно записать в виде:

(5.1)

г

(5.2)

де сила вязкого трения. Это уравнение можно привести к виду:

где введены следующие обозначения:

Уравнение (5.2) представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение. Известно, что общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Однородное уравнение:

(5.3)

как известно, описывает затухающие колебания в системе и его решением является функция:

(5.4)

г

(5.5)

де, а – некоторые произвольные постоянные, зависящие от начальных условий. Надо найти частное (т. е. содержащее произвольных постоянных) решение неоднородного уравнения. Естественно предположить, что оно имеет вид

где а амплитуда вынужденных колебаний, сдвиг фаз между смещением грузика и вынуждающей силы. Дифференцируя функцию (5.5) один и два раза получим соответственно:

(5.6)

(5.7)

Третье слагаемое в левой части уравнения(5.2) имеет вид:

(5.8)

Таким образом, является суммой трех колебаний той же частоты , описываемых уравнениями (5.6), (5.7) и (5.8), причем колебание (5.6) смещено по фазе относительно (5.8) на , а (5.7) на .

Сложение трех гармонических колебаний (5.6), (5.7) и (5.8) можно выполнить методом векторных диаграмм.

Согласно этому методу колебание изображается в виде вращаю­щегося вектора, радиус которого равен амплитуд колебания , а угловая скорость — циклической частоте. Поскольку частоты всех трех колебаний одинаковы, во вращающейся системе отсчета эти колебания будут изображаться неподвижными векторами 1, 2, 3, которые соответствуют колебаниям (5.8), (5.6) и (5.7). В любой момент времен сумма лекторов 1, 2, и 3 должна быть равна вектору 4. Из векторной диаграммы находим, что это возможно при условии:

(5.9)

Отсюда можно найти амплитуду вынужденных колебаний

(5.10)

Из векторной диаграммы можно получить также соотношение

Таким образом, соотношение (5.10) и (5.11) полностью определяют частное решение (5.5) неоднородного дифференциального уравнения:

(5.11)

Общее решение неоднородного уравнения (5.2) имеет вид

Собственные колебания в системе, описываемые слагаемым , затухают со временем по экспоненциальному закону, так что слагаемое х' играет замытую роль лишь в начальной стадии процесса. На рис.52 представлен вид функции X(t).

Переходный режим

Рис. 5.2

РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ

Зависимость амплитуды вынужденных копаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Для определения резонансной частоты необходимо найти максимум функции

(5.12)

т.е. минимум функции

Продифференцируем по и приравняем к нулю:

(5.13)

Уравнение (5.13) имеет три решения

(5.14)

Первое решение соответствует максимуму знаменателя в формуле (5.13). Из двух других решений физический смысл имеет только положительное решение. Таким образом

(5.15)

Зависимость (5.12) амплитуды вынужденных колебаний от частоты изображена на рис.5.3, ее обычно называют амплитудной резонансной кривой. При малом коэффициенте

з

(5.16)

атухания резонансная кривая имеет более острый максимум. При малом затухании амплитуда при резонансе будет равна

Р

(5.17)

азделим это выражение на смещение грузика постоянной силы

Где — логарифмический декремент затухания. Таким образом, добротность колебательной системы Q можно определить как отношение амплитуды смещения при резонансе к смещению под действием постоянной силы.

Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы на , причем это смещение зависит от частоты и определяется формулой (5.11). График этого соотношения представлен на рис. 5.4 и называется фазовой резонансной кривой.