Кусочно-квадратичная

аппроксимация

осуществляется

аналогично

кусочно-линейной

аппроксимации. Каждое

звено

кусочно-квадратичной функции при n = 2m

ìa x2

+ b x + c

, x Î[x

, x

]

ï 1

1

1

0

2

ïa2 x2 + b2 x + c2 , x Î[x2 , x4 ]

.

j(x) = í

ï...

, x Î[x

]

ïa

n

x2

+ b x + c

n

2 m-2

, x

2 m

î

n

Тройка

коэффициентов ak ,bk , ck ( k =1, m ) может

быть найдена

последовательным

решением

трехмерных

линейных , систем

соответствующим выставленным интерполяционным условиям.

ìa

x2

+ b x

+ c

= y

ï

k

2k -2

k

2k -2

k

2 k -2

íak x22k -1 + bk x2k -1 + ck = y2 k -1 .

ïa

k

x2 + b x

2 k

+ c

k

= y

2k

î

2k

k

x0 x1

x2 x3 x4

y0 y1

y2 y3 y4 .

1.

Построить

интерполяционный

многочлен

Лагранжа.

4.

Построить

интерполяционные

сплайны

линейный

и

квадратичный. Построить графики сплайнов.

5. На одном чертеже с графиком полиномов построить графики

сплайнов.

5.2.2. Решение типового примера

Функция y = f (x)

задана таблично в узлах

x

0,351

0,867

3,315

5,013

6,432

y

–0,572

–2,015

–3,342

–5,752

–6,911

1.

Построим

интерполяционный

многочлен

Лагранжа4-й

степени

4

L4(x) в виде линейной комбинации L4 (x) = å pi (x) f (xi ).

i =0

Вычислим базисные многочлены.

p0

(x) =

(x - x1 )(x

- x2 )(x - x3 )(x - x4 )

=

(x0 - x1 )(x0

- x2 )(x0 - x3 )(x0 - x4 )

=

(x - 0,867)(x - 3,315)(x - 5,013)(x - 6,432)

=

5,013)(0,351- 6,432)

(0,351- 0,867)(0.351- 3,315)(0,351-

Вычислим значение полинома в точке

L4 (x1 + x2 ) = L4 (x1

+ x2 ) = L4 (0,867 + 3,315) = -4,3453.

Построим график многочлена Лагранжа (рис. 5.1).

1

0

0,1

0,6

1,1

1,6

2,1

2,6

3,1

3,6

4,1

4,6

5,1

5,6

6,1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

Рис. 5.1. График полинома Лагранжа

xk

yk

∆yk

∆2yk

∆3yk

∆4yk

0,351

–0,572

–1,4430

0,1160

–1,1990

3,5330

0,867

–2,015

–1,3270

–1,0830

2,3340

3,315

–3,342

–2,4100

1,2510

5,013

–5,752

–1,1590

6,432

–6,911

Таблица 5.2

Таблица разделенных разностей

xk

yk

1-го порядка

2-го порядка

3-го порядка

4-го порядка

0,351

–0,572

–2,7965

0,7606

–0,2085

0,0463

0,867

–2,015

–0,5421

–0,2116

0,0728

3,315

–3,342

–1,4193

0,1933

5,013

–5,752

–0,8168

6,432

–6,911

3. Построим полином Ньютона, используя таблицу разделенных

разностей

N 4 (x) = f (x0 ) + f (x0 , x1 )(x - x0 ) + f (x0 , x1 , x2 )(x - x0 )(x - x1 ) +

+ f (x0 , x1 , x2 , x3 )(x - x0 )(x - x1 )(x - x2 ) +

+ f (x0 , x1 , x2 , x3 , x4 )(x - x0 )(x - x1 )(x - x2 )(x - x3 ).

Получим

N 4 (x) = -0,572 - 2,7965(x - 0,351) + 0,7606(x - 0,351)(x - 0,867) -

- 0,2085(x - 0,351)(x - 0,867)(x - 3,315) +

+ 0,0463(x - 0,351)(x - 0,867)(x - 3,315)(x - 5,013).

Вычислим значение полинома Ньютона в точке

N 4 (x1 + x2 ) = N 4 (x1 + x2 ) = L4 (0,867 + 3,315) = -4,3453.

Построим график многочлена Ньютона (рис. 5.2).

1

0

0,1

0,6

1,1

1,6

2,1

2,6

3,1

3,6

4,1

4,6

5,1

5,6

6,1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

Рис. 5.2. График полинома Ньютона

4. Построим

интерполяционные

сплайны

линейный

и

ìa1 x + b1 ,

0,351 £ x £ 0,867,

ï

0,867 £ x £ 3,315,

ïa2 x + b2 ,

j(x) = í

a

x + b ,

3,315 £ x £ 5,013,

ï

3

3

ïa

4

x + b ,

5,013 £ x £ 6,432.

î

4

ïì0,867a2 + b2 = -2,015,

ïí

+ b2 = -3,342;

ïî3,315a2

í

ì3,315a

+ b = -3,342,

ï

í

3

3

ï

î5,013a3 + b3 = -5,752;

ïì5,013a

+ b

= -5,752,

ïí

4

4

ï

6,432a

4

+ b

= -6,911.

îî

4

a1 = -2,797

a2 = -0,542

a3

= -1,419

a4 = -0,817

,

,

b3

,

.

b1 = 0,490

b2 = -1,545

=1,362

b4 = -1,656

Тогда линейный сплайн имеет вид

ì- 2,797x + 0,490,

0,351 £ x £ 0,867,

ï

- 0,542x -1,545,

0,867 £ x £ 3,315,

ï

j(x) = í

-1,419x + 1,362,

3,315 £ x £ 5,013,

ï

ï

- 0,817x -1,656,

5,013 £ x £ 6,432.

î

Построим график линейного сплайна (рис. 5.3).

0,000

0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

-1,000

-2,000

-3,000

-4,000

-5,000

-6,000

-7,000

-8,000

Рис. 5.3. График линейного сплайна

ì a x2

+ b x + c

,

x Î[0,351;3,315]

.

j(x) = í 1

1

1

x Î[3,315;6,432]

îa2 x2

+ b2 x + c2 ,

ì ì 0,123a1 + 0,351b1 + c1 = -0,572,

ï

ï

0,752a1

+ 0,867b1 + c1 = -2,015,

ï

í

ï

ï10,989a

+ 3,315b

+ c

= -3,342;

î

1

1

1

íì10,989a

2

+ 3,315b

+ c

2

= -3,342,

ïï

2

+ 5,013b2 + c2 = -5,752,

ïí25,130a2

ïï41,370a

2

+ 6,432b

+ c

2

= -6,911.

îî

2

Решая каждую подсистему отдельно, получим:

a1 = 0,761

a2 = 0,193

b1 = -3,724 , b2 = -3,029 .

c1

= 0,642

c2 = 4,576

Тогда квадратичный сплайн имеет вид

ì0,761x2 - 3,724x + 0,642,

x Î[0,351;3,315]

j(x) = í

.

î0,193x2 - 3,029x + 4,576,

x Î[3,315;6,432]

Построим график квадратичного сплайна (Рис. 5.4).

0,000

0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

-1,000

-2,000

-3,000

-4,000

-5,000

-6,000

-7,000

-8,000

Рис. 5.4. График квадратичного сплайна