Определение коэффициентов уравнения методом наименьших квадратов

После завершения первичной обработки экспериментальных данных необходимо оставшийся массив данных представить в виде эмпирической функции. Наиболее статистически обоснованным и одновременно простым методом расчета аппроксимирующей функции является метод наименьших квадратов, согласно которому искомые коэффициенты этой функции должны удовлетворять условию минимума суммы квадратичных невязок:

,

(5)

где

Другими словами требуется в заранее заданном уравнении функции определить параметров , таких чтобы в эту функцию наилучшим образом «укладывались» известные табличные значения при одинаковых .

Считается (исходя из принципов теории вероятности), что наилучшими будут те значения , которые обращают в минимум сумму квадратов отклонений значений у от заданных таблично – экспериментальных . Поэтому данный способ и получил название метода наименьших квадратов.

В общем случае условие, приведенное в формуле 5, дает систему из m уравнений, из которых определяются коэффициенты .

Рассмотрим использование метода наименьших квадратов на примере аппроксимации табличных данных полиномом степени k:

(6)

Тогда условие минимума суммы квадратичных невязок будет следующим:

(7)

В точке минимума частная производная φ по a₀ должна равняться нулю .

Тогда для всех членов суммы имеем математическое выражение:

(8)

Для первого члена уравнение будет иметь вид:

(9)

Аналогичным образом определяются второе и последующие уравнения из того же условия, что в точке минимума частные производные функции по всем коэффициентам должны быть равны нулю:

(10)

Определим второе и последующие уравнение системы по аналогии с первым. В точке минимума частная производная φ по a₁ должна равняться нулю:

Рассмотрим первое слагаемое суммы для второго уравнения системы:

(11)

Тогда для всех членов суммы имеем общее математическое выражение:

(12)

Из последнего математического выражения получим второе уравнение:

(13)

Третье уравнение будем иметь следующий вид:

(14)

И последнее k+1–ое уравнение:

(15)

Эта система (из уравнения с неизвестным) всегда имеет единственное решение, так как её определитель отличен от нуля. Для определения коэффициентов этой системы удобно составить вспомогательную таблицу следующего вида:

Таблица 3 ‑ Определение численных коэффициентов системы уравнений

i	xi	xi2	xi3	…	xi(2k-1)	yi	xiyi	xi2yi	…	xik-1yi
1 2 … n	x1 x2 … xn	x12 x22 … xn2	x13 x23 … xn3	… … … …	x1(2k-1) x2(2k-1) … xn(2k-1)	y1 y2 … yn	x1y1 x2y2 … xnyn	x12y1 x22y2 … xn2yn	… … … …	x1k-1y1 x2k-1y2 … xnk-1yn
S	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

В последней строке таблицы записываются суммы элементов каждого столбца, которые и являются численными коэффициентами искомой системы уравнений:

(16)

Представим эту систему уравнений в упрощенном виде:

(17)