Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

190-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-neskol-kih-peremennyh-1mb

.pdf

Скачиваний:

108

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

z = 5arcsin	y	− 5tg2 (x6 y + y6 x − 1).
	x6

Решение

Найдем частную производную функции z по переменной x, для этого продифференцируем функцию z по переменной x, считая y константой:

∂z

(yx−6 )′x

− 5 2tg(x6 y + y6 x

− 1)(tg(x6 y + y6 x − 1))′x

∂x

y 2

−

(x6 y + y6 x − 1)′x

(−6yx−7 )− 10 tg(x6 y + y6 x − 1)

1−

cos2 (x6 y + y6 x − 1)

x12

6x5 y + y6

= −

6 y

− 10 tg(x6 y + y6 x − 1)

x12 − y2

cos2 (x6 y + y6 x − 1)

x12

= −

30 y

− 10 tg(x6 y + y6 x − 1)

6x5 y + y6

cos2 (x6 y + y6 x − 1)

x12 − y2

Найдем частную производную функции z по переменной y, для этого продифференцируем функцию z по переменной y, считая x константой:

∂z	=	5		(yx−6 )′y	− 5 2tg(x6 y + y6 x − 1)(tg(x6 y + y6 x − 1))′y	=
∂y		y	2
	1	−

		x6

−6 − 10 tg(x6 y + y6 x − 1)

(x6 y + y6 x − 1)′y

1 −

cos2 (x6 y + y6 x − 1)

x12

− 10tg(x

y + y

x − 1)

x6 + 6y5 x

x12 − y2

cos2 (x6 y + y6 x − 1)

x12

− 10 tg(x6 y + y6 x − 1)

x6 + 6 y5 x

x12 − y2

cos2 (x6 y + y6 x − 1)

1.4. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть частная производная	∂f	по аргументу xi функции
	∂xi
u = f(x1, x2, ..., xn), определенной в области D Rn , существует в каждой
точке области D. В этом случае частная производная представляет со-

бой функцию переменных x1, x2, ..., xn, также определенную в области D. Поэтому можно поставить вопрос о существовании частных производ- ных у этой функции по какой-либо переменной в точке M D.

Частная производная	∂	∂f		называется частной производной
Частная производная				называется частной производной
	∂x j	∂xi
второго порядка и обозначается				∂2 f	. Заметим, что при i = j при-
∂2 f			∂xi∂x j
∂2 f
меняется обозначение ∂x2 .
	j				∂z
					∂z		∂z
Пусть функция z = f(x, y) имеет частные производные ∂x						и		в
Пусть функция z = f(x, y) имеет частные производные ∂x						и	∂y	в

каждой точке области D. Эти производные также являются функциями переменных x и y. Частные производные от этих функций называются

вторыми частными производными или частными производными вто-

рого порядка от данной функции z = f(x, y). Каждая производная первого порядка имеет две частные производные: по переменной x и по пере- менной y. Таким образом, получим четыре частных производных второ- го порядка, которые обозначаются следующим образом:

∂2 z =

∂

∂z

f ′′

;

∂2 z

∂

∂z

f ′′

;

∂x2

∂x

∂x∂y

∂y

∂x

∂2 z =

∂

∂z

f ′′

;

∂2 z

∂

∂z

f ′′ .

∂y2

∂y

∂y∂x

∂x

∂y

∂2 z

называются смешанными, производная

Производные

∂x∂y

∂y∂x

∂2 z

получается дифференцированием функции z = f(x, y) сначала по

∂x∂y

∂2 z

переменной x, а затем по y; для нахождения производной

сначала

∂y∂x

функцию z = f(x, y) дифференцируем по переменной y, а затем по x.

Например, рассмотрим функцию z = xy (x > 0, x ≠ 1). Найдем ее ча- стные производные первого порядка:

∂z = yxy−1;

∂z = xy ln x.

∂x

∂y

Найдем вторые частные производные:

∂2 z

∂

(yx y−1 ) = y( y − 1)x y− 2 ;

∂x2

∂x

∂2 z

∂

(x y ln x) = x y ln2 x;

∂y2

∂y

∂2 z

∂

(yx y−1 ) = x y−1 + yx y−1 ln x;

∂y

∂x∂y

∂2 z

∂

(x y ln x) = yx y−1 ln x + x y

= yx y−1 ln x + x y−1.

∂x

∂y∂x

∂2 z

Заметим, что в данном примере смешанные производные ∂x∂y и

∂2 z

∂y∂x равны между собой. Это не случайно. Если смешанные произ-

∂2 z ∂2 z

водные ∂x∂y и ∂y∂x определены в некоторой окрестности точки

M(x, y) и непрерывны в этой точке, то тогда смешанные производные в этой точке равны между собой, т.е.

∂2 z		∂2 z
	=		.

∂x∂y		∂y∂x

Здесь условие непрерывности частных производных является су- щественным условием. Если оно не выполнено, то может оказаться, что смешанные производные будут не равны между собой.

Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка, и т.д.

Пусть в области D задана функция z = z(x, y) двух переменных x и y. Если эта функция дифференцируема в области D , то ее полный дифференциал в точке M0(x0, y0) D

dz		= ∂z		dx + ∂z		dy.


	M0	∂x	M0	∂y	M0

Тогда полным дифференциалом второго порядка называется пол- ный дифференциал от полного дифференциала первого порядка при условии, что dx и dy считаются постоянными. Формула для нахожде- ния второго дифференциала:

d 2 z

∂2 z

dx2 +

∂2 z

dy2 + 2

∂2 z

dxdy.

∂x2

∂y2

∂x∂y

Для функции u = u(x, y, z) трех переменных x, y и z дифференциал второго порядка в точке M0(x0, y0, z0)

d 2u

∂2u

dx2

+ ∂2u

dy2 +

∂2u

dz2 + 2

∂2u

dxdy +

∂x∂y

∂x2

∂y2

∂z2

+ 2

∂2u

dydz + 2

∂2u

dxdz,

∂y∂z

∂x∂z

где

∂2u			=		∂	∂u	;
∂x2

				∂x		∂x
∂	2	u	=		∂	∂u ;

∂y2
				∂y ∂y
∂2u			=		∂	∂u	;
∂z2

					∂z	∂z

∂2u

∂x∂y

∂2u

∂y∂z

∂2u

∂x∂z

=∂ ∂u ;

∂y ∂x

=∂ ∂u ;

∂∂ z y

=∂ ∂u .

∂z ∂x

Пример 1.4.1

Найти дифференциалы первого и второго порядка функции

z =	x	+	5y	+ 5x6	в точке М(1, 1).
	y2
			x3

Решение

Найдем частные производные функции z по переменным x и y:

∂z = (xy−2 + 5yx−3 + 5x6 )′ = y−2 − 15x−4 y + 30x5;
∂x	x

∂z = (xy−2 + 5yx−3 + 5x6 )′ = −2y−3 x + 5x−3.
∂y	y

Вычислим частные производные в точке M(1, 1):

∂z

= 1

− 15

+ 30

= 16;

∂z

= −2

+ 5

= 3.

∂x

∂y

Найдем дифференциал первого порядка функции z в точке M по

формуле

= ∂z

dx + ∂z

dy.

∂x

∂y

Тогда

M = 16dx + 3dy.

Найдем частные производные второго порядка функции z:

∂2 z

∂

∂z

∂x2

= (y−2 − 15x−4 y

+ 30x5 )′ = 60x−5 y + 150x4 ;

∂x

∂

∂z

= (−2xy

−3 + 5x−3 )′ = 6xy−4 ;

∂y

∂y ∂y

∂2 z

∂

∂z

= (y

−2 − 15x−4 y + 30x5 )′ = −2y−3 − 15x−4.

∂x∂y

∂y

∂x

Вычислим частные производные второго порядка в точке M:

∂2 z

210;

∂2 z

= −2 − 15 = −17.

∂x2

∂y2

∂x∂y

Найдем второй дифференциал функции z в точке M по формуле

∂2 z

+ 2

∂2 z

dxdy.

∂x

∂y

∂x∂y

Тогда

d 2 z = 210dx2 + 6dy2 − 34dxdy.

Пример 1.4.2

Найти		дифференциалы первого и второго порядка функции
z =	2x + 5y	в точке М(0, 1).
	3y − x

Решение

Найдем частные производные функции z по переменным x и y:

∂z

(2x + 5y)′

(3y − x) − (2x + 5y)(3y − x)′

∂x

(3y − x)2

2(3y − x) − (2x + 5y)(−1)

6 y − 2x + 2x + 5y

11y

;

(3y − x)2

∂z =

(2x + 5y)′

(3y − x) − (2x + 5y)(3y − x)′

(3y − x)2

∂y

5(3y − x) − (2x + 5y) 3

15y − 5x − 6x − 15y

−11x

(3y − x)2

Вычислим частные производные в точке M(0, 1):

∂z

;

∂z

= 0.

∂x

∂y

M 9

Найдем дифференциал первого порядка функции z в точке M по формуле

∂z

dx +

∂z

dy.

∂x

∂y

Тогда

dx.

Найдем частные производные второго порядка:

∂	2	z =	∂	11y		= (11y(3y		− x)−2 )′ =
∂			∂	11y
					2
∂x		2	∂x	(3y − x)	2				x
									x
		= 11y(−2)(3y − x)−3 (−1) =						22 y	;

							(3y − x)3
							(3y − x)3

∂

−11x

z =

= (−11x(3y − x)−2 )′

∂y

∂y (3y − x)

= −11x(−2)(3y − x)−2 3 =

66x

;

(3y − x)3

∂2 z

∂

11y

11(3y − x)2 − 11y 2(3y

− x) 3

∂x∂y

(3y − x)4

∂y (3y − x)2

11(3y − x) − 66 y

33y − 11x − 66 y

−33y − 11x

(3y − x)3

Вычислим частные производные второго порядка в точке М:

∂2 z

= 0;

∂2 z

= −

;

∂x2

∂y2

∂x∂y

Найдем второй дифференциал функции z в точке M по формуле:

∂2 z

+ 2

∂2 z

dxdy.

∂x∂y

Тогда

∂x

∂y

d 2 z

dx2

−

dxdy.

Пример 1.4.3

Найти дифференциалы первого и второго порядка функции z = ln(e2x + ey) в точке М(0, 0).

Решение

Найдем частные производные функции z по переменным x и y:

∂z

= (ln(e

+ e

))′

+ e

)′

2e2x

;

∂x

e2x + ey

∂z

= (ln(e

+ e

))′

+ e

)′

∂y

e2x + ey

Вычислим частные производные в точке M:

∂z		= 1;	∂z		=	1	.

∂x			∂y
	M			M	2

Найдем дифференциал первого порядка функции z в точке M по формуле

∂z

dx +

∂z

dy.

∂x

∂y

Тогда

= dx +

dy.

Найдем частные производные второго порядка функции z:

∂2 z

∂

∂z

2e2x

′

(e2x )′ (e2x

+ ey ) − e2x (e2x + ey )′

= 2

∂x2

(e2x + ey )2

∂x

e2x + ey

2e2x (e2x

+ ey ) − e2x 2e2x

4e2xey

4e2x+ y

;

(e2x + ey )2

(e2x

+ ey )2

∂2 z

∂

∂z

′

(ey )′y (e2x + ey ) − ey (e2x + ey )′y

∂y

(e2x

ey )2

e2x

∂

ey (e2x

+ ey ) − eyey

eye2x

e2x+ y

;

(e2x + ey )2

∂

∂z

′

−e2x (e2x + ey )′

= 2

∂y

(e2x + ey )2

∂x∂y

∂x

e2x + ey

= −2

e2xey

= −2

e2x+ y

(e2x + ey )2

Вычислим частные производные второго порядка в точке M:

∂2 z

;

∂2 z

= −

∂x2

∂y2

∂x∂y

Найдем второй дифференциал функции z в точке M по формуле:

∂2 z

+ 2

∂2 z

dxdy.

∂x

∂y

∂x∂y

Тогда

d 2 z		= dx2 +	1	dy2 − dxdy.


	M	4

Пример 1.4.4

Найти дифференциалы первого	и	второго порядка функции
u = 2xy5 z + 4x3 y − 6xyz2 + 2x + 3y − 5z	в	точке М(−2, 1, −1).

Решение

Найдем частные производные функции u по переменным x, y и z:

∂u = (2xy5 z + 4x3 y − 6xyz2 + 2x + 3y − 5z)′ = 2 y5 z + 12x2 y − 6yz2 + 2;

∂x

∂u = (2xy5 z + 4x3 y − 6xyz2 + 2x + 3y − 5z)′ = 10xy4 z + 4x3

− 6xz2

+ 3;

∂y

∂u = (2xy5 z + 4x3 y − 6xyz2 + 2x + 3y − 5z)′

= 2xy5

− 12xyz − 5.

∂z

Вычислим частные производные в точке M:

∂u

= 42;

∂u

= 3;

∂u

= −33.

∂x

∂y

∂z

Найдем дифференциал первого порядка функции u в точке M по

формуле

∂u

dx +

∂u

dy +

∂u

dz.

∂x

∂y

∂z

Тогда

du M = 42dx + 3dy − 33dz.

Найдем частные производные второго порядка функции u:

∂2u

∂

∂u

= (2 y

z + 12x

y − 6yz

+ 2)′

= 24xy;

∂x2

∂x

∂2u =

∂

∂u

= (10xy4 z +

4x3 −

6xz2 + 3)′ = 40xy3 z;

∂y2

∂y

∂2u

∂

∂u

= (2xy

− 12xyz − 5)′ = −12xy;

∂z2

∂z ∂z

∂2u

∂

∂u

= (2y

z +

12x

− 6yz

+ 2)′

= 10y

z +

12x

− 6z

;

∂x∂y

∂y

∂x

∂2u

∂

∂u

(2y

z + 12x

y − 6yz

+ 2)′ =

− 12yz;

∂x∂z

∂z

∂x

∂2u

∂ ∂u

(10xy4 z + 4x3 − 6xz2 +

3)′ = 10xy4 − 12xz.

∂y∂z

∂z

∂y

Вычислим частные производные второго порядка в точке M:

∂2u

= 24(−2) = −48;

∂2u

= 40(−2)(−1) = 80;

∂x2

∂y

∂2u

= −12(−2) = 24;

= 10(−1) + 12 4 − 6 = 32;

∂z2

∂x∂y

∂2u

= 2 − 12(−1)

= 14;

= 10(

−2) − 12(−2)(−1) = −44.

∂x∂z

∂y∂z

Найдем второй дифференциал функций в точке M по формуле

∂2u

+ 2

∂2u

dxdy +

∂x

∂y

∂z

∂x∂y

+ 2

∂2u

dxdz + 2

∂2u

dydz.

∂x∂z

∂y∂z

Тогда

d 2u = −48dx2 + 80dy2 + 24dz2 + 64dxdy + 28dxdz − 88dydz.

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025194 Кб318. Внебюджетные фонды..doc
#
23.03.20163 Мб65186- Путешествуем с английским- Русско-англ разг для бизнесм и путешеств_ред. Мерхелевич_2006.pdf
#
11.11.20182 Мб391866.doc
#
08.09.20191 Мб261878_ekonomika.doc
#
11.11.20182 Мб291882 курсовая ПМП.doc
#
23.03.20161 Мб108190-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-neskol-kih-peremennyh-1mb.pdf
#
06.05.20195 Мб401920.doc
#
01.03.20253 Мб21OPR-E_SM.doc
#
16.09.2019737 Кб111The Tower of London is one of the world.doc
#
14.11.201972 Кб571а Правоведение. Контрольная работа № 1 2012-13...docx
#
20.04.2015386 Кб561ТУ.doc