Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

190-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-neskol-kih-peremennyh-1mb

.pdf

Скачиваний:

108

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Пример 1.4.5

Найти дифференциалы первого и второго порядка функции u = x2 + y2 + z2 − 2xy в точке М(2, 1, 1).

Решение

Найдем частные производные функции u по переменным x, y и z:

∂u =

( x2 + y2 + z2 − 2xy )′ =

(x2 + y2 + z2 − 2xy)′x

∂x

2 x2 + y2 + z2 − 2xy

2x − 2y

x − y

;

2 x2 + y2 + z2 − 2xy

x2 + y2 + z2 − 2xy

∂u =

( x2 + y2 + z2 − 2xy )′ =

(x2 + y2 + z2 − 2xy)′y

∂y

2 x2 + y2 + z2 − 2xy

2y − 2x

y − x

;

2 x2 + y2 + z2 − 2xy

x2 + y2 + z2 − 2xy

∂u =

( x2 + y2 + z2 − 2xy )′ =

(x2 + y2 + z2 − 2xy)′z

∂z

2 x2 + y2 + z2 − 2xy

x2 + y2 + z2 − 2xy

Вычислим частные производные в точке M:

∂u

;

∂u

= −

;

∂u

∂x

∂y

∂z

Найдем дифференциал первого порядка функции u в точке M по формуле

∂u

dx +

∂u

dy +

∂u

dz.

∂x

∂y

∂z

Тогда

du	M	=	1	(dx − dy + dz).


		2

Найдем частные производные второго порядка функции u:

∂2u

∂

∂u

x − y

′

∂x

∂x ∂x

+ y

+ z

− 2xy x

(

(x − y)′ x2 + y2 + z2 − 2xy − (x − y)

x2 + y2 + z2 − 2xy

′

( x2 + y2 + z2 − 2xy )2

x2 + y2 + z2 − 2xy − (x − y)

2x − 2y

2 x2

+ y2 + z2 − 2xy

x2 + y2 + z2 − 2xy − (x − y)(x − y)

(x2 + y2 + z2 − 2xy)

x2 + y2 + z2 − 2xy − x

2 + 2xy − y2

;

(x2 + y2 + z2 − 2xy)

∂

y − x

′

∂u

∂y

+ y

+ z

− 2xy

( y

+ y2 + z2 −

2xy −

( y − x)

(

x2 + y2 + z2 −

2xy

− x)′

′

( x2 + y2 + z2 − 2xy )2

x2 + y2 + z2 − 2xy − ( y − x)

2y − 2x

2 x2

+ y2 + z2 − 2xy

x2 + y2 + z2

− 2xy − ( y

− x)( y − x)

(x2 + y2 + z2 − 2xy)

+ y2 + z2 − 2xy − y2

+ 2xy − x2

;

(x2 + y2 + z2 − 2xy)

∂

∂ ∂u

′

∂z

+ y

+ z

−

2xy z

(

(z)′ x2 + y2 + z2 − 2xy − z x2 + y2 + z2 −

2xy

′

( x2 + y2 + z2 − 2xy )2

x2 + y2 + z2 − 2xy − z

2 x2 + y2 + z2 − 2xy

x2 + y2

+ z2 − 2xy

+ y2

+ z2 − 2xy − z

+ y

2 − 2xy

;

(x2 + y2 + z2 − 2xy)

∂2u

∂

∂u

x − y

′

∂x∂y ∂y ∂x

+ y

+ z

−

2xy y

		y		(			)
	(x − y)′ x2 + y2 + z2 − 2xy − (x − y)				x2 + y2 + z2 − 2xy		′
	(x − y)′ x2 + y2 + z2 − 2xy − (x − y)				x2 + y2 + z2 − 2xy		y
=							y	=
=		( x2 + y2 + z2 − 2xy )2						=
		( x2 + y2 + z2 − 2xy )2
		− x2 + y2 + z2 − 2xy − (x − y)			2y − 2x
		− x2 + y2 + z2 − 2xy − (x − y)			2 + y2 + z2 − 2xy
	=		2	x	2 + y2 + z2 − 2xy	=
	=	x2 + y2 + z2	− 2xy			=
		x2 + y2 + z2	− 2xy

− x2 − y2 − z2

2xy − (x − y)( y − x)

(x2 + y2 + z2 − 2xy)

− x2

− y2

− z2 + 2xy + x2

− 2xy + y2

− z2

;

(x2 + y2 + z2 − 2xy)

∂2u

∂

∂u

x − y

′

∂x∂z ∂z ∂x

+ y

+ z

− 2xy z

−(x − y)( x2 + y2 + z2 − 2xy )′

( x2 + y2 + z2 − 2xy )2

−(x − y)

2 x2 + y2 + z2 −

2xy

( y − x)z

;

x2 + y2 + z2 − 2xy

(x2 + y2 + z2 − 2xy)2

∂

u =

∂

∂u =

y − x

′

∂y∂z

∂z ∂y

+ y

+ z

− 2xy z

−( y − x)( x2 + y2 + z2 − 2xy )′

( x2 + y2 + z2 − 2xy )2

−( y − x)

2 x2 + y2 + z2 − 2xy

(x − y)z

x2 + y2 + z2 − 2xy

(x2 + y2 + z2 − 2xy)2

Вычислим частные производные второго порядка в точке M:

∂2u

;

∂2u

;

∂2u

;

∂x2

2 2

∂y2

2 2

∂z2

2 2

∂2u

= −

;

∂2u

= −

;

∂2u

∂x∂y

2 2

∂x∂z

2 2

∂y∂z

2 2

Найдем второй дифференциал функций в точке M по формуле

∂2u

+ 2

∂2u

dxdy +

∂x

∂y

∂z

∂x∂y

+ 2

∂2u

dxdz + 2

∂2u

dydz.

∂x∂z

∂y∂z

Тогда

d 2u = 1 (dx2 + dy2 + dz2 − 2dxdy − 2dxdz + 2dydz).

M2 2

1.5.Производная сложной функции

ипроизводная функции, заданной неявно

Дифференцирование сложной функции

Если зависимость функции от аргументов задана через некоторые промежуточные переменные, т.е. задана композиция функций, то в этом случае говорят, что задана сложная функция.

Пусть в некоторой области D задана дифференцируемая функция z = f(x, y). Причем каждая из переменных x и y, в свою очередь, явля- ется дифференцируемой функцией независимой переменной t, т.е.

x = x(t), y = y(t) и существуют производные	dx	= x′(t) и	dy	= y′(t) .

	dt		dt

Тогда производная сложной функции z = f(x(t), y(t)) может быть вы- числена по формуле

dz = ∂z dx + ∂z dy . dt ∂x dt ∂y dt

В частном случае, если z = f(x, y), а функция y = y(x), т.е. z является сложной функцией от переменной x, то полная производная функции z по x

dz = ∂z + ∂z dy . dx ∂x ∂y dx

Сформулированное правило дифференцирования сложной функции остается справедливым и для функций любого числа независимых пе- ременных и при любом числе промежуточных аргументов.

Пусть функция u = f(x1, x2, …, xn) − дифференцируемая функция n не- зависимых переменных, которые являются дифференцируемыми функ- циями независимых переменных t1, t2, …, tm, то есть x1 = x1(t1, t2, …, tm), x2 = x2(t1, t2, …, tm), …, xn = xn(t1, t2, …, tm). Тогда частные производ- ные функции u по переменным t1, t2, …, tm находятся по следующим формулам:

∂u	=	∂u	∂x1 +	∂u		∂x2	+ …+	∂u		∂xn	;
		∂x		∂x				∂x
∂t			∂t			∂t				∂t
1		1	1	2	1			n	1

∂u

∂x1 +

∂u

∂x2 +…+

∂u

∂xn

;

∂x

∂t

…………………………………………………

∂u

∂x1

∂u

∂x2

+ …+

∂u

∂xn

∂x

∂t

∂x

∂t

При этом выражение для дифференциала первого порядка имеет вид

du =	∂u	dx +	∂u	dx + …+	∂u	dx .

	∂x1		∂x2		∂xn
	1		2			n

В частности, для функции z = f(x, y), где x = x(u, v), y = y(u, v) имеем

∂z = ∂z ∂x + ∂z ∂y ; ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u

∂z = ∂z ∂x + ∂z ∂y . ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v

В этом случае дифференциал первого порядка

dz = ∂z dx + ∂z dy.

∂x ∂y

То есть полный дифференциал для функции z = f(x, y) сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли ее аргументы x и y не- зависимыми переменными или функциями от независимых перемен- ных (свойство инвариантности первого дифференциала).

Дифференцирование функции, заданной неявно

1. Пусть задано уравнение F(x, y) = 0, где F(x, y) – функция двух пе- ременных, заданная в некоторой области D на плоскости XOY. Если для каждого значения x из некоторого интервала (a, b) существует единст- венное значение y, для которого F(x, y(х)) = 0, то говорят, что уравнение F(x, y) = 0 определяет у как неявную функцию от переменной х.

Таким образом, неявной функцией переменной x называется функ- ция, значения которой находятся из уравнения, связывающего x и y, и не разрешенного относительно y.

Если F(x, y) – дифференцируемая функция двух переменных x и y – определяет y как функцию от переменной x и Fy′ ≠ 0, то произ-

водная этой неявной функции может быть найдена по формуле

dy = − Fx′ , dx Fy′

где Fx′ , Fy′ – частные производные функции F(x, y).

Производные высших порядков находятся последовательным дифференцированием данной формулы.

2. Пусть уравнение F(x, y, z) = 0 определяет z как некоторую функцию z = ϕ(x, y) двух независимых переменных x и y.

Если F(x, y, z) – дифференцируемая функция трех переменных x, y и z и Fz′ ≠ 0, то

∂z		F ′		∂z		Fy′
	= −	x	,		= −		.
∂x	= −	F ′	,	∂y	= −	F ′	.
∂x		F ′		∂y		F ′
		z				z

где Fx′ , Fy′ , Fz′ – частные производные функции F(x, y, z).

3. Пусть уравнение F(x1, x2, …, xn, y) = 0 определяет y как некоторую функцию y = ϕ(x1, x2, …, xn) n независимых переменных x1, x2, …, xn.

Если F(x1, x2, …, xn, y) – дифференцируемая функция n + 1 пере- менной x1, x2, …, xn, y и Fy′ ≠ 0, то

∂y = − Fx′i , i = 1,2, ..., n,

∂xi Fy′

где Fx′i , Fy′ – частные производные функции F(x1, x2, …, xn, y).

Пример 1.5.1

Найти dz , если z = ln cos(xy3), где x = arctg t, y = sin2t. dt

Решение

Найдем частные производные функции z = ln cos(xy3) по перемен- ным x и y:

∂z

= (ln cos(xy3 ))′ =

(cos(xy3 ))′

(− sin(xy3 ))(xy3 )′

∂x

cos(xy3 )

= −

sin(xy3 ) y3

= − y3 tg(xy3 );

cos(xy3 )

∂z = (ln cos(xy3 ))′ =

(cos(xy3 ))′

(− sin(xy3 ))(xy3 )′

∂y

cos(xy3 )

= −

sin(xy3 )3y2 x

= −3xy2 tg(xy3 ).

cos(xy3 )

Найдем производные функции x = arctg t, y = sin2t:

= (arctg t)′ =

;

(sin2 t)′ = 2sin t cost = sin 2t.

1+ t2

Тогда производную

вычислим по формуле

= ∂z

∂z

∂x

∂y

Следовательно,

= − y3tg(xy3 )

−

3xy2tg(xy3 )sin 2t.

1+ t2

Пример 1.5.2

∂z

Найти частную производную

полную производную

∂x

функции z = e x , где y = ϕ(x).

Решение

Найдем частные производные функции z = e x по переменным x и y:

y ′

′

∂z = e

x = e

= e x

∂x

y ′

′

∂z = e x

= e x

∂y

	−	1	;
y
y		x2
		x2

11 .

x2 y

Тогда полную производную функции z вычислим по формуле

= ∂z +

∂z

∂x

∂y dx

Следовательно,

= −

ye x

ϕ′(x).

Пример 1.5.3

∂z

Найти частную производную

и полную производную

∂x

x+ y

функции z = 2 y , где y = cos4x.

Решение

x+ y

Найдем частные производные функции z = 2

по переменным

∂z

x+ y

′

x+ y

′

x+ y

= 2

= 2 y

ln 2

x + y

= 2 y ln 2

;

∂x

∂z

x+ y

′

x+ y

x + y

′

x+ y

′

x+ y

= 2 y

ln 2

= 2 y

ln 2

+ 1

= 2 y

ln 2

−

∂y

y y

x и y:

x y2 .

Найдем производную функции y = cos4x:

dydx = (cos4 x)′ = 4cos3 x(− sin x).

Тогда полную производную функции z вычислим по формуле

dz = ∂z + ∂z dy . dx ∂x ∂y dx

Следовательно,

x+ y

ln 2 −

(−4cos3 x sin x);

= 2

ln 2

+ 2 y

x+ y

cos3 x sin x .

ln 2

= 2

Пример 1.5.4

Найти

∂z

∂z , если z = f(x, y), где x = arcsin(uv), y = ln

∂u

∂v

Решение

Найдем частные производные функций x = arcsin(uv) и y = ln u по v

переменным u и v:

∂x

(uv)′

= (arcsin(uv))′ = −

;

∂u

1 − (uv)2

∂x

(uv)′

= (arcsin(uv))′ =

;

∂v

1 − (uv)2

∂y

= ln

′

(ln u − ln v)′

;

∂u

v u

∂y =

′

= (ln u − ln v)′

= −

∂v

v v

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025194 Кб318. Внебюджетные фонды..doc
#
23.03.20163 Мб65186- Путешествуем с английским- Русско-англ разг для бизнесм и путешеств_ред. Мерхелевич_2006.pdf
#
11.11.20182 Мб391866.doc
#
08.09.20191 Мб261878_ekonomika.doc
#
11.11.20182 Мб291882 курсовая ПМП.doc
#
23.03.20161 Мб108190-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-neskol-kih-peremennyh-1mb.pdf
#
06.05.20195 Мб401920.doc
#
01.03.20253 Мб21OPR-E_SM.doc
#
16.09.2019737 Кб111The Tower of London is one of the world.doc
#
14.11.201972 Кб571а Правоведение. Контрольная работа № 1 2012-13...docx
#
20.04.2015386 Кб561ТУ.doc