2. Функции нескольких переменных

Отображение, которое упорядоченному набору из n чисел ставит в соответствие число, т.е. отображение видаf : A → R, где A ⊂ Rⁿ, n > 1, называютфункцией нескольких пере-

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

менных.

Ò

Данное определение согласуется сопределением функции действительного переменного, которое соответствует общему определению функции нескольких переменных в случае n = 1. Таким образом, понятие функции нескольких переменных можно рассматривать как обобщение понятия функции действительного переменного.

Упрощая изложение, в дальнейшем функции нескольких переменных частобудем называть

ÔÍ-12

ÔÍ-12

просто функциями. Будем также использовать и упрощенные обозначения таких функций. Вместоf : A → R, A ⊂ Rⁿ, будем писать так: f : A ⊂ Rⁿ → R. Втех же случаях, когда суще-

ственным является не множество A, а лишь размерность линейного арифметического простран- ства, будем записывать функцию нескольких переменных следующим образом: f : Rⁿ → R. Эта

запись может иметь и другой смысл, обозначая функцию, для которой A = Rⁿ, но этот случай

будет оговариваться особо.

Множество D(f ) = A точек из Rⁿ, в которых определена функция f : A ⊂ Rⁿ → R, на- зываютобластью определения (существования) функции f , амножество R(f ) =

ÔÍ-12

ÔÍ-12

= {y ∈ R: y = f (x), x ∈ D(f )} — областью значений (изменения) функции f . Подчерк-

нем, что термины «область определения» и «область значений» никак не связаны с термином

«область». Область определения функции и область ее значений могут и не быть областями в смыслеопределения 8.7.

Пример 8.5. Пусть в пространстверасположено некоторое тело. Плотностьρ этого тела зависит, вообщеговоря, отположения точки. Выберем в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Тогда плотность тела можно рассматривать как функцию трех переменных

Ò

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

x, y иz, а именноρ = ρ(x, y, z), где (x, y, z) — точка рассматриваемого тела. Обозначивмножество точек, принадлежащих телу, черезV , можем записатьρ: V ⊂ R³ → R. Анало-

гично температура T этого же тела есть функцияточки (x, y, z), или функцияT (x, y, z) трех переменных, которую мы можем записать в виде T : V ⊂ R³ → R. #

На множестве F (A, R) всех функций вида f : A ⊂ Rⁿ → R можно ввести операции сложения функций иумножения функций на действительные числа. Суммой функций нескольких

ÔÍ-12

ÔÍ-12

переменных f, g ∈ F (A, R) называют такую функцию f + g ∈ F (A, R), что для любого x ∈ A

верно равенство (f + g)(x) = f (x) + g(x).

Аналогично произведением функции нескольких переменных f ∈ F (A, R) на дей- ствительное число λ называют такую функцию (λf ) ∈ F (A, R), что для любого x ∈ A ^{верно равенство (λf )(x) = λf (x).}

Пример 8.6. Пусть заданы функции двух переменных f₁(x, y) = x + 2y и f₂(x, y) = y² + 3x². Умножая первую функцию на число2 и складывая результат совторой функцией, получим линейную комбинацию f = 2f₁ + f₂ двух функций:

Ò

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

f (x, y) = 2f₁(x, y) + f₂(x, y) = 2x + 4y + y² + 3x². #

Также определяются операции умножения и деления функций. Произведением функций нескольких переменных f, g ∈ F (A, R), A ⊂ Rⁿ, называют функцию fg, значение которой в точке x ∈ A вычисляется по формуле (fg)(x) = f (x)g(x). Аналогично частным функций нескольких переменных f, g ∈ F (A, R) называют функцию f/g, для которой выполнено равенство (f/g)(x) = f (x)/g(x), x ∈ A. Областью определения произведения fg является мно-

ÔÍ-12

ÔÍ-12

жество A, а областьюопределения частного f/g — множество A за вычетомвсех точек x, вкоторых g(x) = 0, т.е. D(f/g) = A \ {x ∈ A: g(x) = 0}.

Пример 8.7. Функция

f (x, y) =

ln(xy + y) + y²

√_x

есть частное двух функций f₁(x, y) = ln(xy +y)+y² и f₂(x, y) = ^√x. Отметим, что область опре-

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

деления частного двух функций есть пересечение областейопределения делимого и делителя, из которого удалены точки, в которых делитель обращается в нуль. В данном случае областьопределения функции f₁ описывается неравенством xy + y > 0, область определения функции

Ò

f₂ — неравенством x ;;? 0, пересечение областей есть множество {(x, y) ∈ R²: x ;;? 0, y > 0}, а область определения частного — множество {(x, y) ∈ R²: x > 0, y > 0}.

Определение 8.8. Графиком функции нескольких переменных f : Rⁿ → R называютподмножество Γ(f ) в Rⁿ⁺¹, которое задается следующим образом:

ÔÍ-12

ÔÍ-12

Γ(f ) = ^/(x, y) ∈ Rⁿ⁺¹: x ∈ D(f ), y = f (x)¹ .

Здесь x = (x₁, x₂, . . . , x_n), а (x, y) — сокращенное обозначение арифметического вектора

(x₁, x₂, . . . , x_n, y).

Это определение согласуется с определением графика произвольно- го отображения f : X → Y как множества упорядоченных пар (x, y) элементов x ∈ X и y ∈ Y , связанных соотношением y = f (x). В слу-

ÔÍ-12

ÔÍ-12

чае n = 1 определение 8.8 приводит к понятию графика действительной

функции действительного переменного, имеющего наглядное геометри- ческое представление в виде некоторой кривой на плоскости. Столь женаглядноможно представить график функции приn = 2. Например, графиком функции f (x, y) = x² + y² является поверхность, которая опи- сывается уравнением z = x² + y². Указанная поверхность представляет собойпараболоид вращения (рис. 8.6).

Ò

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

Рис. 8.6 Для графического представления функций нескольких переменных в случае небольших размерностей области определения и области значе-

ний могут использоваться и другие приемы. Рассмотрим некоторые из них.

Пусть задана функция нескольких переменных f : Rⁿ → R. Множество {x ∈ Rⁿ: f (x) = c},

где c ∈ R фиксированное, называют поверхностью уровня, соответствующей значению c.

ÔÍ-12

ÔÍ-12

Поверхность уровня функции нескольких переменных f — это множество всех точек из области определения функции, в которых она принимает данное значение c, т.е. прообраз f⁻¹(c)

элемента c ∈ R^m при отображении f .

Слово «поверхность» здесь лучше было бы заменить словом «множество». Во-первых, про- образ элемента при произвольном отображении может и не быть поверхностью в обычном ее понимании. Во-вторых, в случае n = 2 это множество представляет собой множество решений уравнения с двумя неизвестными и его, скорее, следовало бы назвать кривой, а не поверхностью.

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

Отдавая дань традиции, мы будем называть множество f⁻¹(c) линией уровня при n = 2 иповерхностью уровня во всех остальных случаях.

Ò

Пример 8.8. Для функции трех переменных f (x, y, z) = x² +y² +z² уравнения поверхностейуровня имеют вид x²+y²+z² = c. Легко увидеть, что они могут быть или пустыми множествами

(с < 0), или точкой (точка (0, 0, 0) при с = 0), или сферой радиуса ^√c с центром в начале

системы координат (c > 0). #

ÔÍ-12

ÔÍ-12

Связь между графиком функции нескольких переменных и ее поверхностями уровня наибо- лее наглядно просматривается в случае функции двух переменных z = f (x, y): линия уровняf (x, y) = c совпадает с проекцией на координатную плоскость xOy сечения графика этой функ- ции, т.е. поверхности z = f (x, y), плоскостью z = c. Именно на этом основан метод сечений,

^{применяемый при исследовании вида поверхности в пространстве по ее уравнению.}

Пример 8.9. Опишем все линии уровня функции двух переменных f (x, y) = x² +y². Уравне- ние линии уровня x² + y² = c при c < 0 задает пустое множество, поскольку это равенство, рассматриваемое как уравнение относи- тельно переменных x и y, не имеет решений. Геометрически это означает, что приc < 0 плоскостьz = c не пересекается с гра- фиком функцииf . В случаес = 0 имеем равенствоx² + y² = 0, которому удовлетворяют координатыединственной точки (0, 0). Следовательно, при с = 0 линия уровня, являющаяся пересечени-

Ò

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

ем плоскости z = 0 с параболоидом вращения z = x² +y², содержит единственную точку (0, 0). Если c > 0, то линия уровня описыва-

ÔÍ-12

ÔÍ-12

ется уравнением x² + y² = c = r² и представляет собой окружность радиуса r с центром в начале координат. Эта окружность есть

Рис. 8.7

проекция на координатную плоскость xOy пересечения плоскости

z = r² с параболоидом вращения z = x² + y² (рис. 8.7). #

8.3. Предел функции нескольких переменных

ÔÍ-12

ÔÍ-12

Точку a ∈ Rⁿ называютпредельной точкой множества A ⊂ Rⁿ, если в любой еепроколотой окрестности естьточки измножества A. Предельная точка множества можетлибо принадлежать этому множеству, либо не принадлежать ему. Отметим, что если точка a является предельной для множества A, то в любой окрестности U(a, ε) этой точки содержится бесконечно много точек множества A.

Точку a называютизолированной точкой множества A, если a ∈ A и существует такая ее проколотая окрестность, котораяне содержит точек из множества A. Отметим, что любая точка a ∈ A

Ò

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

является либо предельной точкой A, либо изолированной точкой A.

Пример 8.10. а. Все внутренние точки любого множества

A ⊂ Rⁿ являются предельными точками этого множества.

б. Множество на плоскости, заданное соотношениями x² −y² = 1,

x ;;? −1, имеет изолированнуюточку (−1, 0). Все остальные точки

ÔÍ-12

ÔÍ-12

Рис. 8.8

этого множества, лежащие на правой ветви гиперболы, являются его

предельными точками (рис. 8.8).

Определение 8.9. Пусть заданы функция нескольких переменных f : Rⁿ → R, множество

A ⊂ D(f ), включенное в область определения D(f ) функции f , и предельная точка a множества

A. Точку b ∈ R называютпределом функции f в точке a по множеству A, если для

любой ε-окрестности U(b, ε) точки b существует такая проколотая δ-окрестность ◦

a, δ) точки

U(

a, что f (x) ∈ U(b, ε) при x ∈ U(a, δ) ∩ A, т.е.

◦

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

∀ U(b, ε) ⊂ R^m ∃ ◦

a, δ) ⊂ Rⁿ ∀x ∈ ◦

a, δ) ∩ A : f (x) ∈ U(b, ε). (8.2)

U( U(

Ò

В этом случае записывают b = lim f (x), или f (x) → b при x→_A a (запись x→_A a читают так: «x

x_A→a

стремится к a помножеству A»).

Замечание 8.3. Условие, что точка a ∈ Rⁿ, в которой рассматривается предел функции помножеству A ⊂ Rⁿ, является предельной точкой A, существенно. Действительно, если точка a

ÔÍ-12

ÔÍ-12

не является предельной точкой A, то в достаточно малой проколотой окрестности этой точки нет

точек множества A и условие определения 8.9, хотя формально и остается корректным, теряет содержательный смысл. В дальнейшем, говоря о пределе функции f в точке a по множеству A, будем всегда предполагать, что точка a является предельной для A.

Если зафиксировать некоторую δ₀-окрестность точки a, то точки множества A, не попавшие в эту окрестность, не будут влиять на существование предела в точке a и его значение, так как

в этом случае мыможем считать, что числоδ вопределении 8.9 не превышаетδ₀. Действи- тельно, если для заданного ε > 0 выбрано некоторое δ так, что при x ∈ A ∩ ◦a, δ) выполняется

U(

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

◦ ◦

соотношение f (x) ∈ U(b, ε), то, положив δ^l = min{δ, δ₀}, заключаем, что U(a, δ^l) ⊂ U(a, δ) и,

Ò

следовательно,

◦ ◦

(A ∩ U(a, δ^l)) ⊂ (A ∩ U(a, δ)).

◦

Поэтому соотношение f (x) ∈ U(b, ε) будет выполнено для любой точки x ∈ A ∩ U(a, δ^l).

Множество A в определении 8.9 играет роль ограничителя: учитываются значения функции

ÔÍ-12

ÔÍ-12

только вточках этого множества. Еслиa является внутреннейточкой множества A, или по крайней мере множества A∪{a}, то A перестает играть ограничивающую роль. В этом случае

можно выбратьпроколотую δ₀-окрестностьточки a, целиком попадающую вA. Выбирая в

◦ ◦

определении 8.9 число δ � δ₀, будем иметь A ∩ U(a, δ) = U(a, δ).

Таким образом, если некоторая проколотая окрестность точки a содержится в множестве

A (в частности, еслиточка a внутренняя дляA), мыможем считать, чтоA = Rⁿ. В этом

случае мыбудем говорить просто определе функции в точке a и обозначатьего, опускаяупоминаниемножества A:

ÔÍ-12

ÔÍ-12

b = lim f (x).

x→a

При этом определение предела упрощается: точка b есть предел функции в точке a, если для

любой ε-окрестности U(b, ε) точки b существует такая проколотая δ-окрестность ◦

a, δ) точки

U(

a, что из условия x ∈ U(a, δ) следует f (x) ∈ U(b, ε).

◦

Пример 8.11. Рассмотрим функцию двух переменных

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

^{( xy} , x² + y² /= 0;

Ò

f (x, y) =

x² + y²

0, x = y = 0,

(8.3)

и исследуем ее на существование предела в точке a = (0, 0) в зависимости от множества A.

Пусть множество A есть прямая y = kx. Воспользуемся тем, что в точках этой прямойфункциюf можно рассматривать как функциюодного действительного переменногоg(x) ≡

ÔÍ-12

ÔÍ-12

≡ f (x, kx), которая при x /= 0 принимает постоянное значение:

g(x) = f (x, kx) =

kx²

x² + k²x²

k

⁼ 1 + k^{2 .}

Поэтому при (x, y) → (0, 0) помножеству A существуетпредел, равныйэтому постоянному значению:

lim

(x, y)_A→(0, 0)

ÌÃ Ó

f (x, y) =

k

1 + k^{2 .}

ÌÃÒÓ

Прямую x = 0 (осьординат) нельзяописатьуравнениемсугловым коэффициентом. Этот случайнеобходимо рассмотреть отдельно. Так какf (0, y) ≡ 0, приходим к выводу, что по

Ò

множеству x = 0 также существует предел, равный нулю. #

Связь между пределами по различным множествам и, в частности, между пределом и пре- делом по множеству аналогична тому, как для действительных функций действительного пе-

ременного связаны понятия предела функции в точке и одностороннего предела функции в точке. Например, правостороннийпредел функции вточке a ∈ R можно рассматривать как

ÔÍ-12

ÔÍ-12

предел этой функции по множеству {x ∈ R: x > a}.

Теорема 8.3. Пустьa — предельная точка множеств A, B ⊂ Rⁿ иA ⊂ B. Если существуетпредел функции f в точке a по множеству B, равный b, то существует и предел этой функции вточке a помножеству A, который также равен b.

... Пусть существует предел функции f при x→_B a, равный b. Это значит, что для произвольного

числа ε > 0 существует такаяпроколотая δ-окрестность ◦

a, δ) точки a, что f (x) ∈ U(b, ε)

U(

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

◦ ◦ ◦

при x ∈ B ∩ U(a, δ). Так как A ⊂ B, то и (A ∩ U(a, δ)) ⊂ (B ∩ U(a, δ)). Значит, соотношение

f (x) ∈ U(b, ε) верно для любойточки x ∈ A ∩ U(a, δ). Тем самым мы показали, что, каковобы ни было число ε > 0, можно указать такое число δ > 0, для которого f (x) ∈ U(b, ε) приx ∈ A ∩ U(a, δ). Это, согласно определению 8.9, и означает, что функция f имеет предел b в

Ò

◦

◦

точке a помножеству A. �

Следствие 8.1. Если функция f : Rⁿ → R определена в некоторой проколотой δ₀-окрестно-

ÔÍ-12

ÔÍ-12

сти ◦

a, δ ) точки a и существует ее предел в этой точке, равный b, то для любого множества

U( ₀

A ⊂ Rⁿ, для которого точка a предельная, существует предел функции f при x→a, равный b.

A

... Доказательство следует из теоремы 8.3 при B = Rⁿ. �

Следствие 8.1 удобно использовать для доказательстватого, что функция не имеет пределав заданной точке. Идея его использования сводится к следующему. Подбирают два множества

A₁ иA₂ так, чтобыпределы функции вточке a по этим множествам были различны. Тогда на основании следствия можно утверждать, что функция не имеет предела в точке a. Действи- тельно, если функция f имеет предел в точке a, равный b, то тот же предел она имеет в точкеa и по каждому из множеств A₁ и A₂, а это противоречит условию.

ÔÍ-12

ÔÍ-12

Пример 8.12. Функция f (x, y) из примера 8.11 не имеет предела в точке (0, 0), так как эта функция имеет разные пределы по множествам A_k = {(x, y) ∈ R²: y = kx}. #

Функцию нескольких переменных f : A ⊂ Rⁿ → R называют бесконечно малой при x→a

A

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

(a — предельная точка множества A), если lim f (x) = 0.

x_A→a

Ò

Для функций нескольких переменных остается в силе теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой.

Теорема 8.4. Для того чтобы существовал предел функции f : A ⊂ Rⁿ → R при x→a,

A

равный b, необходимо и достаточно, чтобы эта функция имела представление f (x) = b + α(x),

где α: A → R^m — бесконечно малая при x→a.

A

ÔÍ-12

ÔÍ-12

... Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что существует предел lim f (x) = b. Обозначим α(x) =

x_A→a

= f (x) − b и выберем произвольное число ε > 0. Согласно определению 8.9, для выбранного

o существует такое число δ > 0, что при x ∈ A ∩ U(a, δ) верно включение f (x) ∈ U(b, ε), что равносильно неравенству |f (x) − b| < ε, или |α(x)| < ε. Но это означает, что существует предел lim α(x) = 0. Следовательно, функция нескольких переменных α(x) является бесконечно малой

◦

x_A→a

при x→_A a.

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть f (x) = b + α(x), x ∈ A, и функция α(x) является бесконечно малой при x→_A a, т.е. существует предел lim α(x) = 0. Выберем произвольное число ε > 0. В

Ò

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

x_A→a

соответствиии с определением 8.9, для выбранного числа ε можно указать такое число δ > 0, что при x ∈ A ∩ ◦a, δ) верно неравенство |α(x) − 0| < ε, или |f (x) − b| < ε. Следовательно, существует предел f (x) = b. �

→

U(

lim

x_A a

Понятие бесконечного предела, активно используемое для функцийодного переменного, можно перенести на функции нескольких переменных.

ÔÍ-12

ÔÍ-12

Определение 8.10. Пусть задана функция нескольких переменных f : A ⊂ Rⁿ → R и a — предельная точка множества A. Если для любого числа M > 0 существует такое число δ > 0, что при x ∈ A ∩ ◦a, δ) выполняется неравенство f (x) > M (f (x) < −M или |f (x)| > M ), то

U(

говорят, что функция f (x) стремится к +∞ (соответственно −∞ или ∞) при x→_A a, и пишут

lim f (x) = +∞ ⁽ lim f (x) = −∞ или lim f (x) = ∞ ⁾.

x_A→a

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

x_A→a

x_A→a

Во всех трех случаях функцию f (x) называют бесконечно большой при x→_A a.

Ò

Пример 8.13. Функция f (x, y) = ¹ является бесконечно большой при (x, y) (0, 0).

→

x² + y²

Функция g(x, y) = ^x стремится к +∞ при (x, y)→(0, 0), если A — сектор, заключенный

x² + y^{2 A}

между прямыми y = x и y = −x и расположенный в правой полуплоскости x > 0. В самом деле,

в этом секторе |y| < |x| и поэтому

ÔÍ-12

ÔÍ-12

x x 1

x² + y^{2 >} 2x^{2 =} 2x^.

Функция g(x, y) стремится к −∞ при (x, y)→_A (0, 0), если A — сектор, заключенный между прямыми y = x и y = −x и расположенный в левой полуплоскости x < 0, поскольку в этом

секторе x < 0, |y| < |x| и

ÔÍ-12

x x 1

x² + y^{2 <} 2x^{2 =} 2x^.

ÔÍ-12

Если A = {(x, y): x = 0, y ∈ R} — ось ординат, то g(x, y) ≡ 0 на A и функция g(x, y) является бесконечно малой при (x, y)→_A (0, 0). #

Введем еще одно понятие. Функция нескольких переменных f : A ⊂ Rⁿ → R огра- ничена на множестве A, если множество f (A) = {y ∈ R: y = f (x), x ∈ A} ограничено. Этафункция ограничена при x→_A a (локально ограничена в точке a), если существует та-

ÌÃ Ó

ÌÃÒÓ

кая проколотая окрестность ◦

Ò

a, δ) точки a, что функция ограничена на множестве A ∩

a, δ).

U(

◦

Определение предела функции нескольких переменных и по форме,

U(

и по содержанию анало-

гично определению предела действительной функции действительного переменного. Поэтомупределы, бесконечно малые и бесконечно большие функции имеют те же свойства, что и в случае функций одного переменного (т.е. при n = 1). Соответствующие формулировки и доказатель- ства переносятся на функции нескольких переменных «почти без изменений». Последние слова

ÔÍ-12

ÔÍ-12

^{заключены в кавычки, так как в этих доказательствах, не изменяющихся по форме, изменяется} смысл обозначения |a|: для числа a — это абсолютная величина, а для точки a ∈ Rⁿ — это

евклидова норма элемента a в евклидовом арифметическом пространстве Rⁿ (см. 8.1). По этой

причине следующую теорему, устанавливающую связь между бесконечно малыми и бесконечнобольшими функциями нескольких переменных, а также свойствапределов функций нескольких переменных далее приводим без доказательства.

Теорема 8.5. Если функция f : Rⁿ → R бесконечно большая при x→a, то функция 1/f (x)

A

бесконечно малая при x→_A a. Если функция α: R

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

n

→ R бесконечно малая при x→_A a и отлична от

нуля в некоторой проколотой окрестности точки a, то функция 1/α(x) бесконечно большая при

Ò

x→_A a. #

Сформулируем основные свойства предела функции нескольких переменных.

1^◦. Если функция f : Rⁿ → R имеет предел в точке a ∈ Rⁿ по множеству A, то этот пределединственный.

2^◦. Если функция f : Rⁿ → R имеет (конечный) предел в точке a по множеству A, то она ограничена при x→_A a.

ÔÍ-12

ÔÍ-12

3^◦. Если у функций f, g: A ⊂ Rⁿ → R существуют пределы

lim f (x) = b, lim g(x) = d,

то существуют и пределы

x_A→a

x_A→a

lim⁽f (x) + g(x)⁾ = b + d, lim⁽λf (x)⁾ = λb, λ ∈ R.

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

x_A→a

x_A→a

4^◦. Если у функций f, g: A ⊂ Rⁿ → R существуют пределы

Ò

lim f (x) = b, lim g(x) = d,

то существуют и пределы

ÔÍ-12

x_A→a

x_A→a

lim⁽f (x) g(x)⁾ = bd, lim ^{f (x)} = ^b

ÔÍ-12

(d /= 0).

x_A→a

^x_A^→a g(x) d

5^◦. Если функция f : A ⊂ Rⁿ → R имеет предел при x→a, равный b, и b > 0 (b < 0), то

A

существует такая проколотая окрестность ◦

◦

a, δ) точки a, что в точках множества A ∩

a, δ)

функция f

U( U(

положительна (отрицательна).

6^◦. Если у функций f, g: A ⊂ Rⁿ → R существуют пределы

ÔÍ-12

ÔÍ-12

lim f (x) = b, lim g(x) = d, (8.4)

x_A→a

x_A→a

причем b < d, то существует такаяпроколотая окрестность ◦

a, δ) точки a, что при x ∈ A ∩

U(

∩ U(a, δ) выполнено неравенство f (x) < g(x).

◦

7^◦. Если у функций f, g: A ⊂ Rⁿ → R существуют пределы (8.4), причем существует такая

◦

проколотая окрестность ◦

a, δ) точки a, что при x ∈ A ∩

a, δ) выполнено неравенство f (x) �

U( U(

ÌÃÒÓ

ÌÃ Ó

� g(x), то b � d.

Ò

8^◦. Если функции f, g, h: A ⊂ Rⁿ → R в некоторой проколотой окрестности точки a удовле-

творяют неравенствам f (x) � h(x) � g(x), x ∈ A, и существуют пределы

lim f (x) = lim g(x) = b,

x_A→a

то существует и предел lim h(x) = b.

x_A→a

ÔÍ-12

ÔÍ-12

x_A→a

9^◦. Произведение функции, бесконечно малой при x→_A a, на функцию, ограниченную при

x→_A a, есть функция, бесконечно малая при x→_A a.

Свойства предела позволяют вычислять пределы функций нескольких переменных, если онисуществуют. Методы вычисленияпределов повторяют теметоды, которые использовались в случае функцийодного действительного переменного.

Пример 8.14. Рассмотрим предел

lim

ÌÃ Ó

(x, y)→(0, 0)

Ò

sin(x³ + y³) x² + y^{2 .}

Представим функцию f (x, y) под знаком предела как произведение двух функций

sin(x³ + y³)

x³ + y³

где

ÌÃÒÓ

_{x2 + y2} = g(x, y) _{x2 + y2} ,

^sin(x³ + y³)

ÔÍ-12

g(x, y) = 

ÔÍ-12



_{x3 + y3} , x + y /= 0;

1, x + y = 0.

Покажем, что функция g(x, y) имеет предел в точке (0, 0), равный единице. Во-первых, она имеетпредел 1 помножеству A₁ = {(x, y): x + y = 0}, поскольку наэтом множестве

принимает постоянное значение 1. Во-вторых, она имеет тот же предел и по множеству A₂ =

= {(x, y): x + y /= 0}. Действительно, согласно первому замечательному пределу, для любого

ÌÃÒÓ

o > 0 можно указать такое δ > 0, что ^{sin τ}

ÌÃ Ó

• 1 < ε при 0 < τ < δ. Полагая τ = x³ + y³, можем

τ

выбрать такую окрестность ◦

O, δ ) точки O = (0, 0), что при (x, y) ∈ A

∩ ◦ O, δ ) будем

U( ₁

Ò

₂ U( ₁

◦

иметь 0 < |τ | = |x³ + y³| < δ. Но тогда |g(x, y) − 1| < ε при (x, y) ∈ A₂ ∩ U(O, δ₁). Это означает,

что функция g(x, y) имеетпредел вточке O помножеству A₂, равный1. Поскольку функцияg(x, y) имеет вточке O предел 1 и помножеству A₁, и помножеству A₂, тоона имеет тот жепредел и по объединению этих множеств.

Второй сомножитель в представлении функции f (x, y) запишем в виде

x³ + y³ x² y²

ÔÍ-12

ÔÍ-12

x² + y^{2 = x} x² + y^{2 + y} x² + y^{2 .}

Каждое слагаемое представляет собой функцию, бесконечно малую при (x, y) → (0, 0). Напри- мер, первое слагаемое есть произведение бесконечно малой в точке (0, 0) функции ϕ(x, y) = x и

ограниченной функции ψ(x, y) = ^x (ее значения заключенымежду нулем и единицей).

2

x² + y²

Итак, функция f (x, y) представлена в виде произведения двух функций, каждая из которых

ÔÍ-12

ÔÍ-12

имеет предел при(x, y) → (0, 0). Значит, существуетпредел функцииf (x, y) вэтой точке, равныйпроизведению пределов сомножителей, т.е.

sin(x³ + y³)

lim

(x, y)→(0, 0)

x² + y²

= 0.