Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания к лабораторным работам по ЧМ 2012.pdf

Скачиваний:

146

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Глава 1. Численные методы алгебры

1.2.Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (далее СЛАУ)

вида

					~
				A~x = b;
где					1		0 a1;n+1	1
0 a11		a12	:::	a1n	1		0 a1;n+1	1
A = B a21		a22	:::	a2n	C	;	~b = B a2;n+1	C	:
B					C		B	C
B					C		B	C
B	:::	:::	:::	:::	C		B :::	C
B an1		an2	:::	ann	C		B an;n+1	C
B					C		B	C
@					A		@	A

Перепишем ее в развернутом виде

a11x1 + a12x2 + ::: + a1nxn = a1;n+1;

a21x1 + a22x2 + ::: + a2nxn = a2;n+1;

(1.2.1)

:::

an1x1 + an2x2 + ::: + annxn = an;n+1:

1.2.1. Прямой ход метода Гаусса

Предположив, что a11 6= 0, разделим первое уравнение системы (1.2.1) на

a11. Получим

Xj
x1 + a11jxj = a11;n+1:	(1.2.2)
=2

Из каждого из оставшихся уравнений в (1.2.1) (i = 2; 3; : : : ; n) вычтем

уравнение (1.2.2), умноженное на соответствующий коэффициент ai1. Полу-

чим

aij1 xj = ai;n1

+1; i = 2; 3; : : : ; n:

(1.2.3)

j=2

Глава 1. Численные методы алгебры

Предположив, что a122 6= 0, разделим первое уравнение системы в (1.2.3)

на a221 :	n
x2 +	Xj	(1.2.4)
x2 +	a22jxj = a22;n+1:	(1.2.4)
	=3

Из каждого из оставшихся уравнений в (1.2.3) (i = 3; 4; : : : ; n) вычтем уравнение (1.2.4), умноженное на соответствующий коэффициент a1i2. Полу-

чим

aij2 xj = ai;n2

+1; i = 3; 4; : : : ; n:

(1.2.5)

j=3

В результате придем к системе

	n
	jX
xi +	aiji xj = ai;ni	+1; i = 1; 2; : : : ; n:	(1.2.6)
	=i+1

Прямой ход метода Гаусса зазавершен.

1.2.2. Обратный ход метода Гаусса

Из формулы (1.2.6) следует

		n
	+1	jX
xi = ai;ni	+1	aiji xj; i = n; n 1; n 2; :::; 1:	(1.2.7)

=i+1

Количество арифметических операций при использовании метода Гаусса составляет порядка const n3.

Для того, чтобы повысить точность вычислений и избежать возможного деления на ноль (см. выше: «Предположив, что a11 6= 0:::»), используют метод Гаусса с выбором главного элемента.

1.2.3. Метод Гаусса с выбором главного элемента

Пусть на k-ом шаге (при k = 0 это исходная система уравнений) получена система уравнений:

Глава 1. Численные методы алгебры

	n
xi + X aiji xj = ai;ni				+1; i = 1; 2; : : : ; k;
	j=i+1
n
X aijk xj = ai;nk		+1;		i = k + 1; k + 2; : : : ; n:
j=k+1
Пусть
jal;kk	+1j = max jai;kk		+1j;	i = k + 1; k + 2; : : : ; n:

Переставляем местами l-ю и (k + 1)-ю строки. Если при этом jakl;k+1j = 0 , то

это означает, что определитель матрицы A равен нулю и система уравнений

либо не имеет решений, либо имеет их бесконечно много (теорема Кронекера-

Капелли).

Далее продолжаем применять стандартный метод Гаусса, пока не спу-

стимся на ступеньку ниже, после чего повторяем процедуру.

Пример. Рассмотрим систему уравнений

0 1

1 0 x1

0 22 1

C B x2

C B x3

C B

C B x4

C B

A @

Решение.

1 шаг. Так как ja31j = 8 = max ja0i;1j > ja11j = 1, то переставляем местами

i=1;:::;4

первую и третью строки:

0 8		2	0	2 1 0 x1		1		0 16 1
B	3	5	1	7	C B x2	C	=	B	38	C	:
B	1	2	3	4	C B x3	C		B	22	C
B					C B	C		B		C
B					C B	C		B		C
B	6	6	6	9	C B x4	C		B	60	C
B					C B	C		B		C
@					A @	A		@		A

Глава 1. Численные методы алгебры

Поделим первую строку на a0011 = 8 (штрих 0 обозначает промежуточное

значение соответствующего элемента расширенной матрицы A на текущем шаге метода Гаусса) и вычтем получившуюся строку из второй, третьей и четвёртой строк, домножив первую строку на a0021 = 3, a0031 = 1, a0041 = 6, соответственно. В результате получим

0		1		1			1
	1		0					0		1		0		1
	1	4	0			4			x1				2
B	0	17	1		31		C		x2				32
B		4		4			C		x2		=		32		:
B		7		17			C			C	=	B		C	:
B	0	7	3	17			C B			C		B	20	C
B	0	4	3	4			C	B x3		C B			20	C
B		4		4			C B			C		B		C
B							C B			C		B		C
B	0	9	6	21			C B x4			C B			48	C
B	0	2	6	2			C B			C		B		C
B		2		2			C @			A		@		A
B							C
@							A

2 шаг. Так как ja142j = 92 = max ja1i;2j > ja122j = 174 , то переставляем места-

i=2;3;4

ми вторую и четвертую строки:

0	1	1

		4
B	0	2
B		9
B
B		7
B	0
B	0	4
B		4
B
B		17
B	0
B	0	4
B		4
B
@

	1			1
0					0		1		0		1
0			4			x1				2
6		21		C		x2				48
	2			C		x2		=		48		:
	17			C			C	=	B		C	:
3	4			C	B x3		C		B	20	C
	4			C B			C		B		C
				C B			C		B		C
1	31			C B x4			C		B	32	C
1	4			C B			C		B		C
	4			C @			A		@		A
				C

Поделим вторую строку на a0122 = 92 и вычтем получившуюся строку из третьей и четвёртой строк, домножив вторую строку на a0132 = 74, a0142 = 174 , соответственно. В результате получим

Глава 1. Численные методы алгебры

0	1	1	0		1	1		1	0		1

		4			4		x1			32
		4	4		4		x1			32
B						C 0 x2			= B	2	C
	0	1
										3
			3		3					3		:
B			2		1	C		C		4		:
B			2		1	C B		C	B	4	C
B	0	0				C	B x3	C	B		C
										3
			3		6
B			3		6	C B		C	B		C
B						C B		C	B		C
B	0	0	14	13		C B x4		C	B	40	C
B	0	0	3	6		C B		C	B	3	C
B			3	6		C @ A			B	3	C
B						C			B		C
@						A			@		A

3 шаг. Так как ja243j = 143 = max ja2i;3j > ja233j = 23, то переставляем места-

i=3;4

ми третью и четвертую строки:

0	1	1	0

		4
B	0	1	3
B			4
B
B			14
B	0	0
B	0	0	3
B			3
B
B			2
B	0	0
B	0	0	3
B			3
B
@

0 x2

= B

C B

B x3

C B

Делим третью строку на a0233 = 143 и вычитаем ее из четвёртой строки, домножив третью строку на a0243 = 23. Будем иметь

0	1	1	0		1	1			0			1

		4		4			x1			32
		4	4	4			x1			32
B						C 0 x2		1	= B	2		C
	0	1
										3
			3	3						3			:
B				13		C		C			20		:
B				13		C B		C	B		20	C
B	0	0	1			C	B x3	C	B		7	C
B	0	0	1	28		C	B x3	C	B			C
B				28		C B		C	B			C
B						C B		C	B			C
B				1		C B x4		C	B	4		C
B	0	0	0			C B		C	B			C
										7
				7
B				7		C @		A	B			C
B						C			B			C
@						A			@			A

Глава 1. Численные методы алгебры
												1
4 шаг. Разделив четвертую строку на a443 =														, получаем
4 шаг. Разделив четвертую строку на a443 =													7	, получаем
0		1		1			1					0			1
	1		0
	1	4	0			4			x1					2
B			4	7			C	0 x2			1			32
	0	1										= B			C
			3	3
			3	3										3		:
B				13			C	B			C			3		:
B				13			C	B			C	B		20	C
B	0 0 1						C B x3				C	B			C
				28
														7
B							C B				C	B		7	C
B							C B x			4	C	B		4	C
B	0	0	0				C B			4	C	B		4	C
B	0	0	0			1 C B					C	B			C
B							C @				A	@			A
B							C
@							A
Отсюда находим
x4 = 4;
x3 =		20		13			4 = 1;

		7		28
		32		4				7
x2 =							1		4 = 0;
x2 =		3			3		1	3	4 = 0;
x1 = 2 4					0 0 1 4 4 = 3:
			1									1

1.2.4.Задание к лабораторной работе «Метод Гаусса с выбором главного элемента»

1.Решить СЛАУ аналитически методом Гаусса с выбором главного элемента ((табл. 1.1) или (табл. 1.2) по указанию преподавателя).

2.Написать программу решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента. Решить с ее помощью СЛАУ.

3.Оформить отчет по лабораторной работе:

а) теоретическая часть, б) аналитическое решение системы,

Глава 1. Численные методы алгебры

в) текст программы, г) результаты решения СЛАУ.

Таблица 1.1. Варианты задания для решения СЛАУ ~ с четырьмя неиз-

A~x = b

вестными в виде j~ методом Гаусса

)

(

		№ вар.					№ вар.					№ вар.

1					2					3

1	2	0	3	j19	2	1	1	2	j 5	1	0	2 4		j12
2 0		4	4	j22	4	3	3	2	j 3	0	1	3	1	j 2
3 5		4	1	j23	3	1	5 3		j 7	3	1	3 1		j 2
4	4	1 0		j 21	5	1	1	0	j 11	3	3	0	2	j 6

4					5					6

1 2		3	4	j13	2	2	2 3		j 25	2	0	1 1		j 5
5 2		4	2	j14	0	0	1 2		j 3	2	1	4	4	j33
4	3	2 1		j 2	4	3	4 4		j 48	3	1	3 3		j 3
1	2	1 3		j 23	3	4	2 2		j 39	4	4	1 4		j 35

7					8					9

3 4		5 4		j 7	1	3	2	1	j11	2	1	2 3		j 7
2	1	2 1		j 6	1	5	5 3		j 9	3	4	2	4	j46
4	0	0	4	j 12	4	0	0	0	j12	4	2	2 2		j 8
3 3		3 1		j 1	1	4	4 1		j 18	3	4	0	2	j22

Глава 1.		Численные методы алгебры
											Продолжение табл. 1.1.

	10					11					12

	5	1	4	4	j 28	5	4	4	2	j27	2	0	1	1	j15
	0	5 1		1	j 7	4	4 1		4	j 16	2	0	3 4		j 31
	2	2	4	2	j 8	3	2	1	1	j 4	3	4	1	1	j11
	2	5 2		3	j45	1	3	2	2	j 2	5	3	1	2	j 34

	13					14					15

	3	2 4		3	j 38	3	5 2		4	j 31	0	1	4	4	j20
	2	4 5		5	j 10	3	1	0	1	j 2	1	3	1 1		j 15
	0	2	2	4	j26	4	4 0		5	j 3	3	4	3 3		j 37
	5	4	4	4	j 16	2	0	4	4	j 2	4	1	3 1		j 22

	16					17					18

	1	1 1		1	j 4	4	3 4		4	j 6	1	5	4 2		j24
	4	5 1		3	j 4	2	4 0		5	j 10	4	1	3 2		j15
	2	1	1	4	j28	3	3 0		3	j24	1	0	0	5	j 27
	0	4 1		3	j 31	5	2	3	3	j 12	2	1	1	4	j 23

	19					20					21

	2	3 0		2	j 8	0	3	3	5	j 3	1	5	3	3	j30
	3	4 3		4	j10	1	5 5		4	j 1	0	4	4 2		j 28
	4	3 4		3	j 6	3	5 1		1	j 16	0	4	2 3		j18
	2	2	5	3	j 5	2	0	4	2	j16	1	5	4 0		j10

	22					23					24

	2	1 3		5	j 20	1	2 5		4	j25	2	0	3	0	j 8
	4	4 3		1	j 35	0	2	3	1	j 5	4	3	2 4		j 3
	5 4 3			4	j53	0	0	3	0	j 3	3	2	3 5		j 15
	1	3 2		0	j 22	4	2	1	4	j21	1	2	2	2	j 2

Глава 1. Численные методы алгебры

Окончание табл. 1.1.


25					26					27

1	3	2	5	j11	2 1		1	3	j 7	4	4	1 3		j 14
0	1 1		3	j 1	4 3		0	4 j 21		3	1	1 1		j 10
2	3 3		2	j 4	5 4		5 1 j 48			1	2	2 5		j 2
4	2 2		5	j25	1	3	4	3 j10		4	3	0	1	j14

28					29					30

4	3 2		1	j 4	0	2	4	1	j 4	1	5	2	1	j 34
1	3	4	1	j 5	1 4		4 0 j 20			3	4	1 1		j36
4	0	1	4	j 1	3	3	4	4	j 1	4	0	2	1	j21
1	2	1	4	j 8	2	4	3 2		j 21	5	0	3	4	j 33

Таблица 1.2. Варианты задания для решения СЛАУ ~ с пятью неизвест-

A~x = b

ными в виде j~ методом Гаусса

(A b)

		№ вар.						№ вар.

1						2

1	5	1	5 5 j17			1	3 1		0	5 j 22
0	1	1	5	3	j22	4 0		2	4	1	j 35
3	4	3	3	3 j 22		2	4	2	2	1	j3
3	2 0 4			5	j 39	4	3	1	4	4	j 38
3	4	4	4	3	j 9	1	4	3	3	5	j 44

Глава 1. Численные методы алгебры

Продолжение табл. 1.2.


3						4

0	5	1	5 0		j 27	2 4		1	3	1	j 28
1	3	1	1	4	j10	2	5	4	2 1		j17
2	3	5	3 4		j 41	3	2	4	2	4	j28
4 5		1	4	3	j24	1 2		2	1	4	j 3
1	5	1	5 4		j 22	4 5		1	4	5	j 24

5						6

4 2		1	5 1		j17	4	2	4	1	3	j13
3 2		3	2	1	j 12	4 3		0	1 3		j 15
2 0		4	4	3	j 5	3	3	2	4 0		j 4
4 3		5	3	2	j20	1	2	2	1 3		j 9
2	2	0	2 5		j15	2 2		3	1 3		j12

7						8

1 4		3	1	4	j 29	0	3	2	2 0		j 4
1 3		3	5 3		j 48	1	4	0	4 5		j14
1 3		4	2	2	j35	2	2	1	4	4	j13
2	0	0	1	4	j 7	2	3	1	1 1		j 1
2	3	2	4	0	j29	4	5	3	3 4		j 1

9						10

2	4	2	1 4		j31	2	1	2	2 1		j 10
3 5		3	2 3		j 2	4	1	2	0	5	j10
4 3		2	3	2	j 28	3	1	3	3 1		j 1
2 5		4	0	3	j 34	3	0	4	2 4		j 17
5 3		3	2	4	j 19	0	1	5	3	5	j26

Глава 1. Численные методы алгебры

Продолжение табл. 1.2.


11						12

4	1	4	5	3	j 5	5	3	3	5 4 j54
2	4	3 2		0	j10	4	3	3	4	1 j13
3	3	3	2	0	j10	1	3	0	2 2 j 3
5 5		5 2		5	j 9	5	1	1	3 3 j24
3	3	3 3		4	j 8	1	2	0	5 1 j 1

13						14

2	3	1	4	1	j 25	3	4	4	2	3	j 14
2	4	3 5		2	j 32	3	2	0	1 5 j27
2	0	2 3		3	j 30	4	2	2	1 1 j14
3 4		1 1		4	j 23	4	1	1	1 1 j15
4	2	1	3	4	j 16	4	4	4	1 2 j49

15						16

4 1		3	0	4	j26	2	0	5	2 4 j 43
3 2		3	4	3	j 12	0	0	4	1 4 j 28
2 5		1	3	4	j 25	5	3	4	3 4 j 16
4	4	0	4	0	j 4	0	2	1	2 3 j 2
4	3	1	4	1	j 28	3	4	1	3 4 j 16

17						18

4	1	4	3	4	j 22	3	3	4	4 0 j34
3 1		5 2		5	j16	2	2	2	5 3 j12
0	5	0	1	4	j 10	1	5	4	5 2 j46
1	2	2 2		4	j20	1	3	2	3 1 j14
1	1	2	3	1	j 9	2	4	3	1 2 j 37

Глава 1. Численные методы алгебры

Продолжение табл. 1.2.


19						20

3	5	2	4	4	j33	1	5 1		2	0	j13
3 5		1	4	1	j16	5	0	1	1	0	j 4
4	0	2	4	4	j16	1	1	4	4	2	j 4
2 2		4	3	1	j 10	2	0	5	3	1	j 6
3	2	0	2	1	j 4	4	1	3	1	4	j 8

21						22

4 1		0	1	1	j 24	1	5 1		5	4	j14
3	3	3	2	3	j 5	3	2	2	5	3	j 24
4	4	3	3	1	j 11	3	2 2		3	1	j16
3	4	1	5	5	j17	0	2	0	4	3	j 7
1 5		1	4	4	j 15	3	1 3		2	3	j 3

23						24

4	1	3	3	5	j23	0	2 1		0	4	j 25
2 5		2	5	3	j 34	1	3	3	1	0	j19
2	4	3	2	2	j31	1	1	1	2	3	j 3
3	4	3	2	4	j 0	5	2	1	5	2	j52
2 4		2	1	2	j 21	3	2	1	2	4	j26

25						26

3	1	4	2	5	j 0	3	2 2		1	5	j11
0	3	2	1	1	j 8	5	0	2	4	2	j 9
4	2	2	4	1	j17	4	1	1	1	2	j11
4	3	1	1	1	j17	4	2	0	3	1	j 4
4	4	3	3	5	j 7	4	3	0	5	2	j34

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.02.2015472 Кб8Методические материалы к ДЗ.doc
#
01.05.202580 Кб1Методические материалы к изучению дисц. Психоло...doc
#
01.05.2025301 Кб2Методические материалы.docx
#
12.03.2015176 Кб46Методические указания MathCAD.doc
#
01.07.20252 Мб1Методические указания и ДЗ-1.doc
#
23.03.20162 Мб146Методические указания к лабораторным работам по ЧМ 2012.pdf
#
01.05.2025180 Кб1Методические указания к ПП и ВКР.doc
#
09.02.2015544 Кб35Методические указания к практическим занятиям.doc
#
05.09.2019476 Кб20Методические указания по дз.doc
#
01.07.20255 Мб2Методические указания по выполнению графической части ВКР.docx
#
01.03.2025144 Кб1Методические указания по дипломному проектирова...doc