RUDN-I

101

Тема 6. Алгебраические операции. Группы

6.1. Алгебраические операции. Понятие группы.

являющейся важным разделом алгебры. Группа определяется как множество, на котором введена одна алгебраическая операция, подчиненная набору аксиом. Группы входят в состав более сложных алгебраических

структур, снабженных большим´ числом алгебраических операций, та-

ких как кольца, поля, векторные пространства, алгебры. Теория групп

имеет, однако, и большое самостоятельное значение, играя принципиаль-

ную роль в построении геометрии и современной теоретической физи-

ки. Известно, например, что группы преобразований пространственно–

временных координат, изученные Лоренцом и Пуанкаре, дали математи-

ческую основу для построенной Эйнштейном специальной теории отно-

сительности. Здесь будут разобраны лишь некоторые базовые понятия

теории групп — подгруппы, смежные классы группы по подгруппе, цик-

лические и нормальные подгруппы; понятия фактор–группы, гомоморфизма и изоморфизма групп.

Пусть M — непустое множество.

Алгебраическуюwwwоперацию называют еще внутренним законом композиции на M.

Пусть φ : M × M → M — алгебраическая операция. Будем писать z =

φ(x, y) или z = x y.

Пример 1.

1) Числа.

— Сложение и умножение чисел есть алгебраические операции на каждом из числовых множеств N, Z, Q, R.

—Вычитание есть алгебраическая операция на Z, Q, R, но не на N.

—Деление есть алгебраическая операция на Q\{0}, R\{0} (на ноль делить нельзя).

2) Векторы.

—Сложение и вычитание векторов — алгебраические операции на множестве V3 геометрических векторов.

—Векторное умножение z = [x, y] есть алгебраическая. операция.ru

—Сложение и вычитание матриц одного размера есть алгебраические операции на множестве таких матриц.

—Умножение есть алгебраическая операция на множестве квадратных матриц одного размера.

4) Множества.

Пусть P(U) — совокупность всех подмножеств непустого множества U (включая само U и ). Тогда объединение, пересечение, разность и симметрическая разность — алгебраические операции на множестве P(U).

5) Отображения.

Пусть M — множество отображений X → X, где X — непустое множество. Для φ, ψ M определим φ ψ = φ◦ψ — композиция отображений. Это есть алгебраическая операция на M.

Замечание 1. Эти примеры показывают, что понятие алгебраической операции является очень общим. Для того, чтобы содержательно изучать алгебраические операции следует сделать некоторые предположения об их свойствах.

Определение 2. Алгебраическая операция на множестве M называется ассоциативной, если

Например,wwwассоциативны все приведенные выше примеры алгебраических операций, кроме вычитания и деления чисел, а также векторного умножения геометрических векторов.

Для вычитания отсутствие ассоциативности подтверждается примером:

3 − (2 − 1) ≠ (3 − 2) − 1.

Для векторного умножения отсутствие ассоциативности подтверждается примером: [i, [i, j]] = [i, k] = −j, [[i, i], j] = [0, j] = 0.

В зависимости от конкретной природы алгебраической операции нейтральный элемент может иметь тот или иной вид. Например, пусть

В примере 3) сложение матриц коммутативно, а умножение и вычитание

— нет.

В зависимости от природы объектов в роли алгебраической операции часто выступает то или иное умножение. Тогда используют мультипликативную запись: x y = xy, элементы x, y называют сомножителями, а z = xy — произведением.

В качестве коммутативной алгебраической операции обычно выступает сложение. Тогда используют обозначение x y = x + y, элементы x, y называют слагаемыми, z = x + y — суммой.

Замечание 2. Аддитивная запись z = x + y используется тогда, когда алгебраическая операция коммутативна.

Сводка свойств операций. в примерах 1)—5) составляет предмет упраж-

Mmn —wwwмножество всех матриц размера (m × n). На нем определены алгебраические операции сложения и вычитания матриц. Сложение ассоциативно и коммутативно: A + (B + C) = (A + B) + C, A + B = B + A, роль нейтрального элемента играет нулевая матрица O Mmn.

Вычитание матриц A −B — не ассоциативно: A −(B −C) ≠ (A −B) −C, если C ≠ O; оно не коммутативно: A−B ≠ B −A для ненулевых матриц; в нем нет нейтрального элемента: равенство A−E = E−A = A возможно только при A = E = O.

Умножение AB не является алгебраической операцией при m ≠ n. Если же m = n, т.е. Mmn = Mn — множество квадратных матриц порядка n,

104 Тема 6. Алгебраические операции. Группы

то A, B Mn AB Mn, т.е. это алгебраическая операция, причем ассоциативная: A(BC) = (AB)C, но не коммутативная, т.к. равенство AB = BA верно не для любых A, B Mn.

Определение 5. Множество G называется группой, если на нем определена алгебраическая операция φ : G × G → G (в мультипликативной записи xy = φ(x, y), x, y G), обладающая следующими свойствами: G1◦ ассоциативность, т.е. x(yz) = (xy)z для всех x, y, z G;

G3◦ для всякого элемента x G существует обратный элемент y G, такой что xy = yx = e.

Обозначение: y = x−1 — обратный элемент.

Определение 6. Группа G называется коммутативной (или абелевой), если групповая операция обладает свойством коммутативности:

Замечание 3. В коммутативных группах часто используют для групповой операции аддитивную запись (в виде суммы). Тогда нейтральный элемент называют нулевым и обозначают 0 или θ, а обратный — противоположным и обозначают (−x). В такой записи аксиомы группы примут следующий вид:

G1◦ ассоциативность: x + (y + z) = (x + y) + z, x, y, z G;

G2◦ θ G : x + θ = θ + x = x, x G;

G3◦ x G (−x) G : x + (−x) = (−x) + x = θ;

G4◦ коммутативность: x + y = y + x, x, y G.

Пример 2. Множество G = R с операцией сложения чисел – абелева группа. Роль нейтрального элемента играет число 0, а противоположное

к x R — число (−.x) R.

Примерwww3. Группа G = R+ = (0, ∞) с операцией умножения чисел является абелевой. Роль единичного элемента в ней играет число 1; обратным для x R+ является число 1/x R+.

Пример 4. Двухэлементное множество G0 = {−1, 1} является абелевой группой относительно операции умножения чисел (проверить выполнение аксиом G1◦—G4◦!).

Пример 5. Пусть X — непустое множество, G = S(X) — множество всех биекций f : X → X. Тогда S(X) есть группа относительно операции суперпозиции отображений

Доказательство. 1) Покажем, что формула (5) определяет алгебраическую операцию на S(X), т.е. что f ◦ g S(X). Напомним, что отображение f : X → X биективно тогда и только тогда, когда оно обратимо. Значит, отображения f, g S(X) обратимы, а тогда обратима и их суперпозиция f ◦ g. Значит, f ◦ g S(X) (см. теорему 4 п. 2.3).

2) Суперпозиция отображений обладает ассоциативностью. Значит, вы-

4) Для f S(X) роль обратного элемента играет обратное отображение

f−1, поскольку ff−1 = f ◦ f−1 = eX , f−1f = f−1 ◦ f = eX . Тем самым, выполнена аксиома G3◦, т.е. S(X) есть группа.

В частности, если X — конечное множество, X = An = (a1, a2, . . . , an), мы получим группу S(An) всех перестановок множества An. При An =

(1, 2, . . . , n) ее называют симметрической группой и обозначают Sn.

Замечание 4. Группа S(X) в общем случае некоммутативна. В частности, группа Sn при n ≥ 3 некоммутативна. Например, для α1 =

(1, 3, 2), α2 = (2, 3, 1) S3 имеем α1 ◦α2 = (3, 2, 1), α2 ◦α1 = (2, 1, 3), т.е. α1 ◦ α2 ≠ α2 ◦ α1.

Пример 6. Подмножество GLn Mn невырожденных квадратных матриц порядка n (см. часть 3 упражнения 6.1) образует некоммутативную группу относительно операции умножения матриц. Действительно, по теореме об определителе произведения матриц

A, B GLn . det(AB) = det A · det B ≠ 0 AB GLn,

так чтоwwwумножение матриц является алгебраической операцией на GLn, причем ассоциативной и некоммутативной (см. п. 5.1). Роль нейтрального элемента играет единичная матрица I = In, роль обратного элемента для A GLn играет обратная матрица A−1.

Упражнение. Разобрать все остальные примеры, приведенные в упражнении 6.1 с точки зрения групповой терминологии.

6.2. Некоторые свойства групповой операции

1◦. Единичный элемент в группе единственен.

2◦. Каждый элемент x G имеет только один обратный x−1.

Упражнение. Доказать это свойство самостоятельно (см. упражнение

3◦. Свойства обратного элемента.

1) e−1 = e;

2) (x−1)−1 = x;

3) (xy)−1 = y−1x−1;

4) Если xy = e, то x = y−1 (и, следовательно, yx = e).

Замечание 1. Свойство 4) показывает, что xy = e yx = e даже в некоммутативной группе G.

Доказательство. Свойства 1), 2) очевидны. Докажем 3):

Доказательство. 1) Докажем существование решений. Достаточно проверить, что формулы (4) действительно дают решения уравнений (3), т.е. что ax0 = b, y0a = b. Имеем:

(y0a)a−1 = ba−1, y0(aa−1) = ba−1, y0e = ba−1, y0 = ba−1.

Итак, решения уравнений (3) обязательно вычисляются по формулам (4), т.е. они единственны.

Замечание 2. Для абелевой группы уравнения (3) совпадают и единственное решение имеет вид x0 = a−1b = ba−1.

Замечание 3. В аддитивной записи (для абелевой группы) уравнение примет вид a + x = b; оно имеет единственное решение x0 = (−a) + b = b + (−a).

Определениеwww1. Непустое подмножество H группы G называется подгруппой, если для x, y H элементы x−1 и xy также принадлежат H.

Замечание 1: x, y H G x−1 G, xy G. В определении 1 требуется больше, а именно, чтобы x−1 H, xy H. Это условие выполняется не для любых подмножеств H G.

Лемма 1. Подгруппа H группы G сама является группой.

108 Тема 6. Алгебраические операции. Группы

Доказательство. Групповая операция определена для любых x, y G и, в частности, для любых x, y H, причем она не выводит из H. Она ассоциативна на G (аксиома G1◦), а значит и на H. Единичный элемент e группы G входит в H, т.к. для x H имеем y = x−1 H, а тогда e = xx−1 H по определению 1. Итак, H удовлетворяет аксиомам группы G1◦—G3◦.

Пример 2. Рассмотрим группу S(R2) биективных отображений плоскости на себя. Биективное отображение f : R2 → R2 назовем движением, если оно сохраняет расстояния между точками на плоскости. Примеры движений: параллельные переносы, повороты вокруг начала координат, симметрии относительно осей. Обозначим S0(R2) — множество всех движений. Тогда S0(R2) — подгруппа в группе S(R2) (см. упражнение 6.4).

Пример 3. Рассмотрим группу G = Sn перестановок чисел (1, 2, . . . , n), а в ней подмножества H0 — четных перестановок, H1 — нечетных перестановок (см. п.п. 3.1—3.3). Тогда H0 G есть подгруппа группы G, а H1 G не является подгруппой.

Доказательство. 1) Пусть α, β H0 — четные перестановки, т.е.

sign α = sign β = 1. По свойствам перестановок α ◦ β Sn, α−1 Sn и sign(α ◦β) = sign α ·sign β = 1 ·1 = 1, т.е. α ◦β H0; sign α−1 = sign α = 1,

2) Пустьwwwтеперь α, β H1 — нечетные перестановки, т.е. sign α = sign β =

−1. Тогда sign(α ◦ β) = sign α · sign β = (−1) · (−1) = 1, т.е. α ◦ β H0

и α ◦ β ̸H1. Значит, H1 не удовлетворяет определению 1 и не является подгруппой.

Теорема 1. Пусть H1, H2 — подгруппы в группе G. Тогда H = H1 ∩H2 также является подгруппой в G.

Упражнение. Доказать теорему 1 самостоятельно (см. упражнение 6.8).

Теорема 2. Пусть H — подгруппа в группе G. Введем отношения R1, R2 между элементами группы G: пусть x, y G, тогда

Тогда R1, R2 являются отношениями эквивалентности на группе G,

Замечание 1. Класс xH называют левым смежным классом группы G по подгруппе H, а класс Hx — правым смежным классом группы G по подгруппе H. Если G абелева группа, то R1 = R2 и xH = Hx, x G.

Замечание 2. Для x H имеем xH = Hx = H, т.е. классы эквивалентности для R1, R2 порожденные элементами подгруппы H совпадают с

H.

Замечание 3. Смежный класс xH порождается любым своим элементом, т.е. если y xH, то yH = xH. Это же свойство верно для Hx.

Действительно, это верно, поскольку смежные классы совпадают с классами эквивалентности, для которых это свойство было доказано (теорема 1 п. 2.2).

Доказательство теоремы 2. Проведем его для R1 (для R2 провести доказательство самостоятельно, см. упражнение 6.7).

(т.к. всякая подгруппа содержит единичный элемент группы). Значит, (x, x) R1, т.е. R1 рефлексивно.

Далее, пусть (x, y) R1, т.е. y−1x H. Тогда, по определению подгруппы (y−1x)−1 H, т.е. x−1(y−1)−1 = x−1y H. Это значит, что (y, x) R1. Итак, если (x, y) R1, то (y, x) R1, т.е. R1 симметрично.

Наконец, пусть (x, y) R1 и (y, z) R1. Покажем, что (x, z) R1, Имеем, согласно (1) y−1x H, z−1y H. Тогда z−1x = z−1ex = z−1(yy−1)x =

110 Тема 6. Алгебраические операции. Группы

В итоге R1 обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, т.е. является отношением эквивалентности.

Пусть теперь AR1 (x) — класс эквивалентности, порожденный элементом x G, т.е.

Значит, y−1x = (hx−1)x = h(x−1x) = he = h H, т.е. y AR1 (x). Итак, y xH y AR1 (x), т.е. xH AR1 (x).

Полученные включения доказывают, что AR1 (x) = xH, т.е. верно (3).

Замечание 4. Если подгруппа H конечная и |H| означает ее порядок, т.е. число элементов в ней, то при x G левый и правый смежные классы xH и Hx тоже конечные, причем |xH| = |Hx| = |H|.

Действительно, отображение f : H → xH (при фиксированном x G), заданное формулой f(h) = xh, h H есть биекция, обратное к нему имеет вид f−1(y) = x−1y, y xH. Итак, между конечными множествами H и xH установлено биективное соответствие и, значит, число элементов в них одинаково.

Обозначим G | R1, G | R2 — фактор-множества, т.е. множества всех классов эквивалентности относительно R1 и относительно R2.

Пусть G — конечная. группа, т.е. число элементов в ней |G| — конечно.

Теорема 3. (Лагранж)

Тогда любая подгруппа H в G конечна и число классов эквивалентности |G | R1| wwwи |G | R2| конечно.

Пусть G — конечная группа, H — подгруппа G. Тогда

(5)

Доказательство. Пусть R1 — отношение эквивалентности (1). Все элементы группы G распределены на непересекающиеся классы эквивалентности. В каждом классе эквивалентности число элементов одинаково и равно |H| — порядку подгруппы (см. замечание 4). Число всех классов эквивалентности мы обозначили |G | R1|. Значит, |G| = |H|·|G | R1|. Второе равенство в (5) доказывается точно так же.