Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

RUDN-I

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2016

Размер:

722 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 208 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Тема 5. Алгебра матриц

Выше были определены операции сложения, вычитания матриц одного порядка, а также умножение матрицы на число. Здесь будет рассмотрена

еще одна важная операция — умножение матриц. Она играет ключевую
matematem	.	ru

роль в матричном методе исследования систем линейных уравнений и в матричном представлении действия линейных операторов (ему посвящена тема 16). Введено также понятие обратной матрицы, получен критерий ее существования и описаны способы вычисления. Изложен метод решения матричных уравнений и квадратных систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. В качестве следствия мы выводим формулы Крамера для решения квадратной системы линейных уравнений с невырожденной матрицей. В конце приведено дополнение (п. 5.8), которое содержит характеризацию определителя как полилинейной кососимметрической функции векторных аргументов.

5.1. Определение умножения матриц. Примеры

Пусть даны матрица-строка A = (a1 a2 . . . ap) и матрица-столбец той
	b1
же длины B =	b2
же длины B =	...	.
	bp


Определение 1. Произведением AB строки на столбец называется
число	.	p
	.

	AB = a1b1 + a2b2 + . . . + apbp = akbk		(1)
		=1
		∑k

Пусть теперь даны две матрицы A = aik размера (m × p) и B =

bkj размера (p × n). Используем обозначение A

...

, B

www

B2 . . . Bn

где

i — строки матрицы

A, A

= (a

. . . a

[

]

2 1

, B =

0 3

1 0

1 2

)

(n × n) · (n ×n) = (n × n),

| {z }

72		Тема 5. Алгебра матриц

	b1j	.
Bj — столбцы матрицы B, Bj =	b2...j	.
	bpj

Определение 2. Произведением C = AB матрицы A на матрицу B называется матрица C = cij размера (m × n), элементы которой

Умножение матриц подчинено правилу размеров, которое в определении

вычисляются по формуле					.	ru
j						ru	(2)
cij = AiB , 1 ≤ i ≤ m,		1
cij = AiB , 1 ≤ i ≤ m,		1	≤ j ≤ n.
Итак, согласно определению (1)
	b1j
	b2j		(1)	p
cij = (ai1, ai2, . . . aip)	...		= k=1 aikbkj.				(3)
	bpj			∑


matematem

(2) можно записать символически:

(m × p) · (p ×n) = (m × n)			(4)
\|	{z	}

(длина строк 1-ой матрицы p должна равняться длине столбцов 2-ой

матрицы; число строк произведения равно числу строк 1-ой матрицы, а число столбцов произведения равно числу столбцов 2-ой матрицы).


Замечание 1. При умножении квадратных матриц одного порядка сно-
ва получим квадратную матрицу того же порядка.
www	A =		(	(
Действительно, пусть.		A	и	B — квадратные матрицы порядка n. Тогда

правило размеров (4) примет вид

т.е. C = AB — квадратная матрица порядка n.

Пример 1. Пусть

5.1. Определение умножения матриц. Примеры							73
Тогда
AB = (	2	1	1	0	(	3	2
AB = (	0	3 )(	1	2 ) =	(	3	6 ),
BA = (	1	0	2	1	(	2	1
BA = (	1	2 )(	0	3 ) =	(	2	7 ).

Вывод: вообще говоря, AB ̸= BA даже для квадратных матриц.
Если AB = BA, то матрицы A и B называют перестановочными, если
AB = −BA — антиперестановочными.								.	ru
Пример 2. Пусть
	a11	a12 . . . a1n						x1
	a21	a22 . . . a2n						x2
	A = ...	... ... ...					, X =	...	.
	am1	am2 . . . amn						xn


Тогда, правило размеров дает
	(m × n) · (n ×1) = (m × 1),
т.е. AX — столбец		\|		{z		}
т.е. AX — столбец		\|		{z		}
a11	a12 . . . a1n		x1
a21	a22 . . . a2n	x2
... ... ... ...		...			=
am1 am2 . . . amn		xn

	a11x1	+ a12x2	+ . . . + a1nxn
	a21x1	+ a22x2	+ . . . + a2nxn
.	matematem= ... ...			...	...	.
.	am1x1	+ am2x2	+ . . . + amnxn

Замечаниеwww2. Этот пример показывает, что систему m линейных уравнений с n неизвестными (1) п. 1.3 можно записать в форме одного матричного уравнения

AX = B.

Удобство такой записи отражает связь введенной операции умножения матриц с теорией линейных систем. Глубокая связь умножения матриц с теорией линейных отображений векторных пространств будет раскрыта в теме 15 (умножение матриц согласуется с умножением соответствующих линейных отображений).

74									Тема 5. Алгебра матриц
Пример 3. Пусть
	A = (		0	1			2		0
Тогда	A = (		0 0 ) , B = (				0 0 ),
Тогда	AB = (
		0		1	2	0			0	0
cij = AiIj		0 0 )(			0 0 ) = (				0 0 )
cij = AiIj	= (ai1 . . . amatematemij . . . ain) 1 ← j-ый элемент										=
— пример делителей нуля:			A ̸= O, B			̸= O,	но	AB = O. ruОтметим, что в
этом примере BA ̸= O:										.
	BA = (	2		0	0	1			0	2
	BA = (	0 0 )(			0 0 ) = (				0 0 ).

5.2. Свойства умножения матриц

1◦. Роль единичной матрицы.

Пусть I(m), I(n) — единичные матрицы порядков m и n. Тогда для матрицы A = aij размера (m × n) справедливы равенства

AI(n) = I(m)A = A.

(1)

Доказательство. Докажем, что AI(n) = A (второе — самостоятельно, см. упражнение 5.1). Обозначим AI(n) = C = cij . Правило размеров дает

(m × n) · (n ×n) = (m × n),

т.е.

имеет размер

Далее, по определению

.| {z }

0...

Пусть Awww= aij =

...

— матрица размера (m × p) со строками

= ai1 · 0 + . . . + aij · 1 + . . . + ain · 0 = aij.

Итак, cij = aij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, т.е. I(n)A = C = A.

2◦. Строки произведения матриц.

5.2. Свойства умножения матриц

Ai, i = 1, . . . , m, B

= bij

— матрица размера (p × n) со

= ...

строками Bk, k = 1, . . . , p и пусть C = AB = ...

. Тогда справедливы

равенства

matematem

= AiB, i = 1, . . . , m,

(2)

∑k

(3)

Ci =

aikBk,

i = 1, . . . , m.

Доказательство. Докажем (2). Для Di

= AiB имеем по правилу разме-

ров:

(1 × p) · (p ×n) = (1 × n),

т.е. Di — строка (1 × n), Di |={z(d}i1, . . . , dij, . . . , din),

i = 1, . . . , m причем

по определению

di1 = AiB1 = ci1, . . . , dij = AiBj = cij, . . . , din = AiBn = cin,

т.е. Ci = Di = AiB.

Докажем (3). Обозначим теперь Ei =

kp=1 aikBk — это линейная комби-

нация строк

B1, . . . , Bp,

т.е. тоже

строка (1

n). Далее,

∑

Ei = ai1B1

+ ai2B2

+ . . . + aipBp =

www

= ai1(b11 b12 . . . b1n) + ai2

(b21 b22 . . . b2n) + . . . + aip(bp1 bp2 . . . bpn) =

= (ai1b11 + ai2b21 + . . . + aipbp1 ai1b12 + ai2b22 + . . . + aipbp2 . . .

. . . ai1b1n + ai2b2n + . . . + aipbpn) = (AiB1 AiB2

(2)

. . . AiBn) =

= (ci1 ci2 . . . cin) = Ci.

Итак, Ci = Ei =

kp=1 aikBk, i = 1, . . . , m т.е. верно (3).

Из формулы (2)

∑получим следующие следствия.

Следствие 1. Если i-ая строка матрицы A умножена на некоторое число, то i-ая строка матрицы C = AB умножается на то же число.

(B + C)A = BA + BC.

A(B + C) = AB + AC.

76	Тема 5. Алгебра матриц

Следствие 2. Если в матрице A поменять i-ую и j-ую строки, то в матрице C = AB также меняются местами i-ая и j-ая строки.

Следствие 3. Если к i-ой строке матрицы A прибавить j-ую с некоторым коэффициентом, то это же происходит со строками матрицы

C = AB.

Вывод. Элементарные преобразования строк матрицы A приводят к
тем же элементарным преобразованиям строк матрицы C = AB.
Иными словами, справедливо следующее утверждение..	ru

Лемма 1. Пусть матрица A получена из матрицы A элементарными

преобразованиями строк. Тогда матрица C = AB получается из C =

AB теми же элементарнымиe преобразованиями строк.

3◦. Столбцы произведения матриц.

Пусть A =

aij

A1 A2 . . . Ap

— матрица размера (m

p) со

bij

= B

. . . B

столбцами

, k = 1, . . . , p, B =

— матри-

[

j ]

ца размера (

)

со столбцами

B , j = 1, . . . , n

и пусть

C = AB =

[

]

[ C1 C2 . . .

Cn ]. Тогдаj

справедливыj

равенства

(4)

= AB ,

j = 1, . . . , n,

Cj =

bkjAk,

j = 1, . . . , n.

(5)

∑k

Упражнение 1. Вывести формулы (4), (5) (см. упражнение 5.7).

Из формулы (4) вытекает вывод: элементарные преобразования столб-

1) Пусть B и C — матрицы одного размера, причем умножение матриц AB, AC допускается правилом размеров. Тогда

цов матрицы B приводят к тем же элементарным преобразованиям
столбцов матрицы C = AB.
		matematem
4◦. Дистрибутивность умножения относительно сложения.
www	.

(6)

2) Пусть B и C — матрицы одного размера, причем умножение BA, BC допускается правилом размеров. Тогда

(7)

Упражнение 2. Вывести формулы (6), (7) (см. упражнение 5.2).

5.2. Свойства умножения матриц

5◦. Ассоциативность умножения.

Пусть A, B, C — матрицы размеров (m × p), (p × k), (k × n) соответственно. Тогда

A(BC) = (AB)C. (8)

Замечание 1. Обе части (8) имеют смысл по правилам размеров: BC

Для доказательства (8) потребуется лемма о перестановке порядка суммирования в двойных суммах.

имеет размер (p×k)(k×n) = (p×n), A(BC) имеет размер (m×p)(p×n) =
(m × n). Таков же размер (AB)C.	.	ru
matematem

Лемма 2. В двойных суммах можно менять порядок суммирования:

для любых чисел αij,		i = 1, . . . , m,			j = 1, . . . , n
		m	n		n	m
		=1 (j=1 αij)			= j=1 (i=1 αij).			(9)
	∑i		∑		∑ ∑
Доказательство. Рассмотрим матрицу
			α11	α12 . . .		α1n
			α21	α22 . . . α2n
		Λ =	...		... ...	...	.
			αm1	αm2 . . . αmn


Сумму всех ее элементов S(Λ) можем найти двумя способами.
1 способ:
a) сложим все элементы i-ой строки, i = 1, . . . , m,
b) сложим полученные суммы по всем строкам.
Итак,	.
	.
	n
S(Λi) =	αij	— сумма элементов i-ой строки, i = 1, . . . , m,
	=1
	∑j		m		m	n	αij).
	S(Λ) =		=1 (S(Λi)) = i=1			(j=1	αij).	(10)
			∑i		∑ ∑

2 способ:www

a) сложим все элементы j-го столбца, j = 1, . . . , n, b) сложим полученные суммы по всем столбцам.

Тема 5.

Алгебра матриц

Итак,

∑i

S(Λj) =

αij — сумма элементов j-го столбца, j = 1, . . . , n,

∑j

(

)

∑ ∑

S(Λ) =

S(Λj)

= j=1 (i=1 αij).

(11)

Это и означает, что E matematem= G требовалось.

Сопоставляя (10) и (11), получаем (9).

Доказательство свойства 5◦. Введем обозначения

D = AB,

E = (AB)C = DC,

(12)

F = BC,

G = A(BC) = AF.

(13)

Нужно показать, что E = G. Из (12) по правилу умножения матриц

eij = ∑k

dikckj (т.к. E = DC),

dik = ∑l

ailblk (т.к. D = AB).

Подставляя, получим

eij = ∑k

(∑l

ailblj)ckj = ∑k

∑l

(9)

ailblkckj =

ail (∑k

blkckj).

= ∑l

∑k

ailblkckj = ∑l

l ailflj = gij т.к. G = AF .

Но k blkckj = flj т.к. F = BC. Итак, eij =

www

, что и

∑

6◦. Транспонирование матриц.

Пусть A, B — матрицы размера (m × p) и (p × n), соответственно. Тогда

(AB)T = BT AT .

(14)

Замечание 2.

(AB)

По правилу размеров T

имеет размер

T, тогда

имеет размер (n × T ).TДалее,

имеет размер (

имеет

размер (p × m), так что B A

имеет смысл, и ее размер (m × n).

Упражнение 3. Доказать формулу (14) (см. упражнение 5.2).

5.3. Свойства умножения квадратных матриц

5.3.Свойства умножения квадратных матриц

Обозначим Mn — множество всех квадратных матриц порядка n. Для A, B Mn по правилу размеров C = AB Mn:

(n × n) · (n ×n) = (n × n).

| {z }

Поэтому, кроме общих свойств умножения матриц, умножение квадрат-

matematem

ных матриц имеет ряд специфических свойств.

1◦. Роль "единицы" при умножении квадратных матриц.

из Mn играет

единичная матрица порядка n I = I(n) Mn:

AI = IA = A, A Mn.

2◦. Для A Mn, m = 0, 1, 2, . . . имеют смысл степени

(1)

A0 = I,

A1 = A,

A2 = AA, . . . , Am = Am−1A,

m = 2, 3, . . .

Очевидно, что

Am = A · A · . . . · A, m ≥ 2.

Степени

}

m раз

Замечание 1.

матрицы коммутируют между собой:

AmAp = ApAm = Am+p,

m, p N0 = {0, 1, 2, . . .}

(2)

3◦. Имеют смысл многочлены от матриц A Mn.

Пусть

p(λ) = p0 + p1λ + . . . + pkλk

— многочлен степени k,

p0, p1, . . . , pk R. Полагаем

(3)

www

p(A) = p0I + p1A + . . . + pkAk Mn.

Эту матрицу называют многочленом от матрицы A.

Пример.

p(λ) = λ2 + λ − 2, A = (

0 −2 ) ,

p(A) = A2 + A − 2I = (

+ (

− 2 (

0 −2 )(

0 −2 )

0 1 ) =

( 0

−4 )

+ (

0 −2 ) + (

−0 −2 ) = (

0 0 ) .

Этот результат не случаен (см. упражнение 5.13)!

4◦. Определитель произведения квадратных матриц.

= − det A = sign σ · det A.

80	Тема 5. Алгебра матриц

Теорема 1. При умножении квадратных матриц их определители перемножаются, т.е. если A, B Mn, то

det AB = det A · det B.	ru	(4)

Для доказательства теоремы 1 потребуются некоторые вспомогательные

утверждения.	.

Обозначим C = AB Mn. Согласно формуле (5) для столбцов матрицы C справедливы равенстваmatematem

∑n

Cj = bkjAk, j = 1, . . . , n,

k=1

т.е. Cj есть линейная комбинация столбцов A1, . . . , An матрицы A, причем коэффициенты ее — элементы j-го столбца матрицы B. Эти формулы при разных значениях j будут использованы совместно, поэтому индексы суммирования в них следует обозначать разными буквами, например

				k∑j
				n
			Cj =	bkjjAkj , j = 1, . . . , n		(5)
				=1
(причем k1, . . . , kn независимо друг от друга меняются от 1 до n).
Лемма 1. Пусть A =				A1 A2 . . . An Mn, σ	= (k1, k2, . . . , kn)
	Sn	— перестановка	чисел (1, 2, . . . , n), A(σ) = Ak1		Ak2 . . . Akn
		— перестановка	[	]
Mn — матрица с переставленными столбцами.[Тогда						]
			det A(σ) = sign σ · det A.			(6)

Доказательство леммы.

из A транспозицией (заменой местами) двух столбцов. По свойству 2◦

1) Если σ есть транспозиция, то sign σ = −1. При этом A(σ) получается
www	случае
определителей в этом.

det A(σ)

2) В общем случае перестановка σ есть произведение нескольких транспозиций, причем их число четно, если σ — четная, и нечетно, если σ — нечетная (см. теорему 2 п. 3.2). При этом A(σ) получается из A соответствующими транспозициями столбцов. При каждой из них знак определителя меняется. В результате, для четной перестановки σ он сменится четное число раз, т.е. останется прежним:

det A(σ) = det A = sign σ · det A, если σ — четная.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 208 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.09.201985 Кб6Regularo por ORIGO.doc
#
11.02.201553 Кб16resursovedenie (1).docx
#
11.02.2015282 Кб9RIM_ekzamen1.doc
#
20.04.2019290 Кб6rimskoe.doc
#
14.04.2019228 Кб5rimskoe.docx
#
25.03.2016722 Кб13RUDN-I.pdf
#
01.05.202571 Кб0Russky_odnim_faylom.docx
#
01.03.202534 Кб1russky_yazyk2.docx
#
01.05.2025477 Кб2s_46-1.doc
#
01.03.2025111 Кб1sage.doc
#
11.11.2019403 Кб9Samost_tekh.doc