4. Производные основных элементарных функций

C=0 (C=const)

x=1

(х0)

(a>0, a1)

.

(a>0, a1, )

()

Рассмотрим показательно-степенную функцию

, где .

.

5. Производные и дифференциалы высших порядков

Определение 1. Пусть функция y=f(x) определена на множестве D и существует . Тогда наD определена функция . Если эта функция имеет производную в точкеxD, то её называют производной второго порядка (или второй производной) функции f(x) в точке x.

Обозначается ,,,.

Таким образом .

Производные высших порядков определяются индуктивно. Если , то наD определена функция . Производная от этой функции (если она существует) в точкеxD называется производной n–го порядка функции f(x) в точке x.

.

Обозначается: ,,,.

Cчитают, что .

Заметим, что если существует в точкех, то в некоторой окрестности существуети все производные более низкого порядкаk, k<n.

Если для функции y=f(x) в точке х существует , то говорят, что функцияn раз дифференцируема в этой точке.

Определение 2. Пусть y=f(x) дважды дифференцируема на множестве D. Дифференциалом второго порядка функции f называется дифференциал от её дифференциала первого порядка и обозначается . Таким образом.

Если х – независимая переменная, то

.

Итак, .

Дифференциал любого порядка определяется индуктивно. Предположим, что уже введён дифференциал (n-1)–го порядка , и чтоy=f(x) дифференцируема n раз.

Определение 3. Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от её дифференциала (n-1)-го порядка.

Обозначается . Т. о.,.

Аналогично, как для дифференциала второго порядка, получим

.

6. Исследование функции на монотонность и экстремум

Определение 1. Функция f называется возрастающей (убывающей) на DD(f), если x₁, x₂D: x₁<x₂ f(x₁)< f(x₂) (f(x₁)> f(x₂)).

Теорема 1 (достаточное условие монотонности). Пусть функция f определена и непрерывна на [a;b] и дифференцируема на (a;b). Если f (x)>0 (f(x)<0), то f возрастает (убывает) на (a;b).

Определение 2. Пусть f(x) определена в V(x₀). Точка х=х₀ называется точкой максимума (точкой минимума) функции f, если существует окрестность V(x₀,)V(x₀), в пределах которой выполнено неравенство f(x)f(x₀) (f(x) f(x₀)).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции.

Определение 3. Точка х=х₀ называется точкой строгого максимума (строгого минимума) функции f, если существует V(x₀,)V(x₀): xV(x₀,) выполнено неравенство f(x)< f (x₀) (f(x)> f (x₀)).

Значение функции в точке x₀ называется строгим максимумом (строгим минимумом) функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в них – экстремумами функции.

Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Пусть f(x) определена в V(x₀). Если функция имеет в точке x₀ экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю или не существует.

Определение 4. Пусть f(x) определена в V(x₀). Точка x₀ называется стационарной точкой функции f, если f (x₀)=0. Точка x₀ называется критической точкой функции f, если f (x₀)=0 или не существует.

Из теоремы 2 следует, что точками экстремума могут быть только критические точки. Обратное не всегда верно.

Теорема 3 (достаточное условие экстремума). Пусть f дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀, кроме, быть может, самой точки x₀, в которой она непрерывна. Пусть f (x) сохраняет знак в отдельности как слева, так и справа от точки x₀, т. е. в интервалах (x₀-; x₀), (x₀;x₀-). Если:

1) f (x)>0 при x<x₀ и f (x)<0 при x>x₀, то x=x₀ - точка строгого максимума;

2) f (x)<0 при x<x₀ и f (x)>0 при x>x₀, то x=x₀ - точка строгого минимума;

3) f (x)>0 или f (x)<0 xV(x₀), то x=x₀ не является точкой экстремума.

Алгоритм нахождения точек экстремума для функции, непрерывной на <a;b>

Найдем критические точки функции f(x) на <a;b>. Расположим их в порядке возрастания: a<x₁<x₂<…<x_n<b. Они делят <a;b> на интервалы (а;x₁), (x₁;x₂),…,(x_n;b). В каждом из них f (x₀)0, она знакопостоянна (положительна, или отрицательна). Для определения знака производной в интервале надо определить ее знак в любой точке интервала. Затем по изменению знака производной при переходе от одного интервала к другому определим точки экстремума по т 3.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений

непрерывной функции на отрезке

1) Найти все критические точки функции, принадлежащие отрезку [a;b];

2) вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка;

3) из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.