§ 5. Процедура решения V варианта закона сравнительных суждений для неполной матрицы исходных данных

Реальные экспериментальные данные очень часто отличаются от той классической матрицы данных, которая анализировалась выше. Наиболее распространенный артефакт в процедуре парного сравнения, который связан с ограничением на возможное число предъявлений, — стопроцентное предпочтение одного стимула другому, что приводит к появлению в матрице вероятностей нулей и единиц. Ноль и единица в терминах модели Терcтоуна не несут сравнительной информации о различии стимулов, поэтому не могут быть использованы для расчетов шкальных значений стимулов.

Для матриц с нулями и единицами (они называются неполными матрицами) существуют особые алгоритмы анализа. Наиболее распространенный из них подробно описан в работе Торгерсона (1958) и вкратце состоит в следующем.

Из выражения (12) для стимула j следует, что стимул j+l будет описываться следующим выражением:

S_j+e - S_i = z_j,i +e . (18)

Вычтя из уравнения (18) уравнение (12), мы получим сравнительное различие для интересующего нас стимула косвенным путем. В терминах минимизированной ошибки эта величина может быть вычислена из выражения:

(19)

где n_j — есть индекс суммирования.

Для практического удобства матрицу Z следует перестроить таким образом, чтобы столбцы были упорядочены по величине. Порядок столбцов в матрице Z определяется суммой по столбцу матрицы P. Для такой упорядоченной матрицы Z различие S_j+e - S_i можно прямо вычислить из выражения (19). Если мы шкальное значение первого стимула (S_i) приравняем к нулю, то шкальное значение любого стимула есть сумма шкального значения стимула и расстояния между данным стимулом и предшествующим:

S₁ = 0,

S₂ = d_1,2 ,

S₃ = S₂ + d_2,3 ,

S_n = S_n-1 +d_n-1,n . (20)

Рассмотрим практический пример решения для неполной матрицы частот, взятый из работы Торгерсона (1958). Пусть нам дана матрица вероятностей предпочтения i-го стимула j-му с некоторыми вырожденными (пустыми) элементами, равными 0 или 1.

Таблица 4

Матрица вероятностей p

Примечание. Элементом матрицы p_i,j является вероятность, с которой стимул i в паре j,i оценивался более предпочтительным, чем стимул j.

Преобразуем вероятности p_i,j в единицы стандартного отклонения нормального распределения — z_i,j.

Таблица 5

Матрица z — оценок

Примечание. Элементом матрицы Z_i,j является вероятность p_j,i, преобразованная в единицы стандартного отклонения.

Таблица 6

Матрица Z' — оценок

Примечание. Элементом матрицы Z ^’_i,j является вероятность p^’_j,i, преобразованная в единицы стандартного отклонения. . Столбцы упорядочены по возрастанию

Переставим столбцы в матрице Z в таком порядке, чтобы первый столбец имел наименьшую сумму элементов, а последний — наибольшую.

Из матрицы Z' можно получить матрицу различий между соседними парами столбцов, вычитая их поэлементно один из другого. В каждой j-й строке элемент этой матрицы будет равен ( z_j,i+1 - z_j,i).

Пользуясь выражением (20), вычисляем из полученных различий шкальные значения стимулов, приняв, что S₁ = 0:

S₁ = 0,

S₃ = 0 + 1.5 = 1.5,

S₅ = 1.5 + 0.53 = 2.03,

S₄ = 2.03 + 0.98 = 3.01,

S₂ = 3.01 + 0.56 = 3.97.

Из рассмотренной процедуры видно, что недостающие элементы матрицы компенсируются наличием внутренней связи между элементами столбца, что позволяет рассматривать разность между столбцами матрицы как результат алгебраической интерполяции отсутствующих элементов в столбце.

Таблица 7

Матрица разностей между столбцами