Uchebnik3_3

наши точки перешли в точки (x1;2y1) и (x2;2y2) соответственно. Тогда «новый» вектор a имеет следующие координаты:

a = ( x2 − x1 ) = ( x2 − x1 ).

2y2 − 2y1 2(y2 − y1)

В самом деле, вторая координата увеличилась в два раза.

Легко обобщить формулы для «новых» координат вектора:

если имеет место быть линейное преобразование плоскости, заданное системой

выражены через «старые» координаты по формулам:

Доказательство этого утверждения элементарно и может служить в качестве

упражнения для читателя (частный случай уже был разобран выше!).

Если вернуться к нашему случаю с растяжением вдоль ОУ, и подставить данные из

видим как раз нашу изначальную матрицу.

____________________________

Было бы неплохо проверить, что указанная матрица дает именно такой эффект для

осталась неизменной, а вторая увеличилась в два раза.

Теперь легко понять, что любой вектор, параллельный оранжевому (у всех них нет

составляющей по OY) будет собственным, так как он никак изменится. В общем

30

виде такие вектора можно записать как (0k), где k - любое число, кроме нуля

(нулевой вектор собственным не считается). Понятно, что, согласно полученной

вертикальные векторы) будет собственным, так как они просто «вырастут» в два раза, но останутся параллельны тем векторам, из которых они были получены

согласно нашей формуле). На какое же собственное число нужно умножить (0t),

чтобы получить (20t)? Очевидно, на 2. В итоге мы получили: у данной матрицы два собственных вектора (на самом деле, две группы, но для простоты изложения говорят о векторах): это t(02) и k(10)(как видим, параметры t и k принято выносить за скобку). Первому вектору соответствует λ1 = 1, второму - λ2 = 2.

Алгоритм вычисления собственных чисел и векторов

Как же найти собственные числа и вектора какой-нибудь матрицы А, не рисуя

картинок?

Существует определенный алгоритм, а именно:

Шаг 1 : в данной матрице А из всех элементов, стоящих на главной диагонали,

вычесть λ , и определитель получившейся матрицы приравнять к нулю. Это позволяет найти собственные числа (λ).

31

Отсюда очевидно, что λ1 = 1, λ2 = 2. Это и есть собственные числа матрицы А!

Заметим, что полученные значения полностью согласуются с нашими рассуждениями на предыдущих страницах.

Осталось найти собственные вектора:

Шаг 2 : подставить по очереди каждое из полученных нами собственных чисел обратно в матрицу А, и решить соответствующую однородную систему (найти

любые подходящие значения переменных). Записать ответ в векторном виде и домножить на параметр (на предыдущих страницах параметрами были k и t).

Полученное и есть собственный вектор матрицы А.

Подставим λ1 = 1 и запишем соответствующую однородную систему:

что нам надо найти решение этой системы! Понятно, что уравнение,

соответствующее первой строчке, выполняется для любых значений переменных.

А второе выполнятся, например, при x = 1, y = 0. В векторном виде это решение можно записать как (10). Согласно инструкции, домножим на параметр. Пусть это

большинстве задач необходимо будет знать только изложенный выше алгоритм,

однако попадаются и те, где необходимо понимать суть собственных чисел и векторов линейных преобразований, поэтому я рекомендую прочитать данный теоретический материал еще раз. Еще одна задача на эту тему будут рассмотрена в следующем блоке.

32

33

(a + 6)x3 = 2. Очевидно, такое уравнение имеет решение во всех случаях, кроме a = − 6. Тогда наша система совместна при a ≠ − 6.

Ответ: a ≠ − 6.

34

Решение: итак, нам надо найти Х, то есть оставить его слева в одиночестве. Для

развернутом пояснении: ? ). Теперь домжножим наше уравнение на полученную

собственный вектор v = (2;  3;  a − 1)?

Решение: эту задачу можно решать разными способами, но самый лаконичный

подразумевает владение теоретическим материалом из блока 5, а не только знание

алгоритма вычисления собственных чисел и векторов (?).

Ясно, что если умножить нашу матрицу на данный собственный вектор, то получится вектор, коллинеарный v . Посмотрим, что получится, если умножить

матрицу на наш вектор:

8 − a

Согласно теории, домножив исходный v на собственное число λ, получим 2 + a .

3a − 6

35

найденные значения переменных в третье уравнение: уравнение превращается в тождество, все сходится. Итак, a = 4.

Ответ: a = 4.

Замечание: если в такой задаче требуется найти значение а по определению, то плюс можно

будет получить только за приведенное выше решение (так как тут мы действовали по

определению собственного вектора). В итоговом экзамене 2012-2013 была именно такая задача,

и всем, кто ее решил верно, но другими способами, были выставлены «чистые» минусы за этот

Решение: раз прямая и плоскость перпендикулярны, то вектор нормали

плоскости и направляющий вектор прямой коллинеарны.

подстановке таких значений переменных, значит, все верно.

Ответ: a = 4.

рисунок.

36

Решение: согласно методу разложения определителя по строке или столбцу ( ?),

разложим наш определитель по третьему столбцу (в нем больше всего нулей):

Ответ: −18.

37

38

При раскрытии всех скобок получаем уравнение 3 степени, которые не проходятся в этом курсе. Поэтому нужно искать другие способы решение, в данном случае это вынесение за скобку общего множителя (2 − λ). Получаем:

(2 − λ) [(3 − λ)2 − 1] = 0. Отсюда или (2 − λ) = 0 или (3 − λ)2 − 1 = 0. В первом случае

λ = 2, во втором - λ = 2 или λ = 4.

Условимся записывать три различных собственных значения: λ1 = 2, λ2 = 2 и λ3 = 4

(а не λ1 = 2 и λ2 = 4!). При такой записи мы не теряем информацию о кратности собственных значений, но это уже совсем другая история. Итак, будем записывать

3 значения, а не два!

Нам нужны собственные вектора, соответствующие λ1 = 2. Запишем соответствующую однородную систему уравнений в матрицу (смотри алгоритм на странице 27):

По сути, это три одинаковые строчки (первые две совсем одинаковые, третья символизирует то же уравнение, умноженное на -1).

Выпишем это уравнение: 0 x + y − z = 0. Это равенство выполняется для любых

y=z, при этом х может принимать совершенно любые значения, ведь он умножается

0

на ноль. Поэтому записывать (11)t как собственный вектор было бы неправильно:

подставляя различные t , мы сможем повлиять только на y и z координаты, а

координата по х так и останется нулевой. В то же время, мы понимаем, что, к

5

примеру, вектор (11)t является собственным, так как такие координаты

удовлетворяют получившейся однородной системе.

Из-за этого упущения принято записывать собственный вектор через два параметра t1 и t2, а не просто t, как раньше.

39