Uchebnik3_3

1 0

Выглядит это следующим образом: v = (00)t1 + (11)t2 . Таким образом, t1 отвечает

за то, что х-координата может принимать совершенно любые значения. В столбике же для y и z на место х-координаты ставится 0 (таким образом x никак не зависит от y и z).

1 0 Ответ: v = (00)t1 + (11)t2 .

Таким образом, если в однородной системе уравнений мы получаем нулевой столбик, то в записи собственного вектора будут присутствовать уже два параметра, а не один. Для координаты, чей столбик в однородной системе занулился, выписывается собственная составляющая: это столбик, в котором все

координаты равны нулю, кроме той, чей столбик состоял из нулей в однородной

1

системе. На ее позиции стоит 1. В нашем случае это столбик (00)t1.

40

41

Эквивалентность.

Однако оказывается, что при x → 0 можно вместо sinx писать просто х. То есть, при x → 0 sinx эквивалентен х. Записывается это так: sinx x. Чтобы объяснить это,

представим на одной координатной плоскости графики функций y = sinx и y = x.

Эквивалентность sinx x. Интерактивное изображение.

«Не работает» при других х

Графики «сливаются»

42

Вернемся к нашей задаче: если заменить sinx на х (а мы имеем полное право это

Какие еще замены «около нуля» существуют? Ниже приведен их список с соответствующими графиками; таким образом эквивалентности будет проще запомнить. На всех графиках линии около нуля сливаются в одну. Это показывает нам, что значения эквивалентных функций на самом деле почти одинаковы.

43

] ] ] ] ex − 1 x

ln(1 + x) x

Кроме этого, (1 + x)α − 1 αx и ax − 1 x lna (где α и а - конкретные числа). Для этих эквивалентностей графики строить мы не будем, так как, на самом деле, мы имеем дело с целыми классами функций: подставляя различные а и α , получаем разные функции, но наши правила работают для любых чисел α и а (естественно,

кроме ограничений: так a > 0 из-за lna ). Еще могут пригодиться аркфункции: arcsinx x и arctgx x.

В целом, равенство представляет из себя лишь частный случай эквивалентности.

Поэтому нас не должно удивлять, что в случае с эквивалентностью мы можем переносить слагаемые через знак , как будто мы имеем дело с равенствами.

Пример: ex − 1 x ex x + 1. Особенно актуальным данное замечание бывает в пределах с косинусами.

44

Задачи.

2.3а. Вычислите пределы, используя замены функций на эквивалентные:

lim ln(1 + sin(2x)).

x→0

Решение: заметим, что x → 0, и в нашем пределе есть натуральный логарифм с

тригонометрическими функциями: это говорит нам о том, что здесь нужно

использовать эквивалентность (допустим, что мы работаем над экзаменом, и у нас нет подсказки в условии). На что можно заменить sin(2x)? На 2x. Дело в том, что ф

нашей формуле sinx x вместо х может выступать любое выражение, зависящее от

х, при условии, что значение этого выражения стремится к нулю при x → 0. В нашем случае, очевидно, 2x → 0 (так как x → 0) поэтому мы смело заменяем sin(2x)

на 2x, а sin(3x) на 3x:

Кроме этого, мы знаем, что ln(1 + x) x, поэтому ln(1 + 2x) 2x. Подставим это в

(Примечание: на последнем шаге просто сокращаем иксы.)

2

Ответ: 3.

2 . 3в. Вычислите пределы, используя замены функций на эквивалентные:

45

Решение: в числителе необходимо увидеть формулу (1 + x)α − 1 αx . В данном случае вместо х выступает выражение x + x2 (которое стремится к нулю при x → 0),

Приведем еще несколько подробных решений на эту тему.

2.3з. Вычислите пределы, используя замены функций на эквивалентные:

Ответ: −0,32.

2.3и. Вычислите пределы, используя замены функций на эквивалентные:

lim ex2+1 − e . x→0 ln(cos(2x))

46

2.3е. Вычислите пределы, используя замены функций на эквивалентные:

Однако, задача может свестись к заменам по эквивалентности даже в том случае,

если х не стремится к нулю. Обычно своеобразными индикаторами для применения правил эквивалентности служат логарифмы и тригонометрические функции, а также выражения вида ex − 1. После того, как мы понимаем, что будем использовать эквивалентность, осталось лишь провести такую замену переменных, чтобы новая переменная стремилась к нулю, и эквивалентность стало бы возможным вариантом решения.

Разберем несколько простейших случаев:

2 . 3л. Вычислите пределы, используя замены функций на эквивалентные:

lim x − 1 .

x→1 ex−1 − 1

Решение: возможность применения эквивалентности выдает как числитель, так и знаменатель. Осталось лишь произвести правильную замену. Чтобы наша новая переменная (пусть это будет t) стремилась к нулю, надо ее связать с x выражением: t = x − 1. В самом деле, если x → 1, то величина, на 1 меньшая, будет стремится к нулю, то есть t → 0. Теперь мы готовы переписать наш предел через переменную t,

а вместо х везде будем писать t + 1 (исходя из того, что t = x − 1). Получим:

Обратим внимание на стиль выноски в квадратных скобках. Она обеспечивает удобство при замене, но вовсе не обязательна. Теперь все готово к применению правил эквивалентности:

47

Полезно бывает представлять себе графическую интерпретацию. Например, в

разобранном выше примере мы искали эквивалентную замену для ex−1 − 1 при x → 1.

Читатель, изучивший построение графиков на школьном уровне, понимает, что график функции y = ex−1 − 1 - это график функции y = ex − 1, сдвинутый на единицу вправо. Покажем это на рисунке:

Синий график - график функции y = ex − 1, стрелками показан переход на единицу вправо, к графику функции y = ex−1 − 1. Естественно, что и касательная при у= 0 тоже «переедет» на единицу вправо:

48

Совершенно очевидно, что раз ex − 1 x при x → 0, то ex−1 − 1 x − 1 при x → 1. Это тот же самый сюжет, перенесенный на 1 вправо. Таким образом, учащийся с достаточно хорошо развитым пространственным воображением может решать примеры, подобные 2.3л, и без введение новой переменной t. По сути, t мы вводим

при t → 0. Иными словами, сама процедура замены переменной помогает нам

перенести уже знакомые графики (см. страницы 3 9-4 0) к началу координат для того, чтобы замены по эквивалентности были более очевидными.

Приведем еще один пример с заменой переменной:

2 . 3о. Вычислите пределы, используя замены функций на эквивалентные:

Решение: наличие логарифма и специфического корня сверху говорит нам о том,

что в данном случае должна быть использована эквивалентность. Наша задача №1 - придумать такую переменную, которая будет стремится к нулю при x → 2.

49