Источник: Луркморье, статья Дворовые . Задача 7.84.

Monty-Hall — игровая версия.

Есть три шкатулки, А, Б, и В. Ведущий прячет в одну из них 100 рублей в тайне от игрока. Затем игрок выбирает одну из шкатулок. Затем ведущий открывает пустую шкатулку не выбранную игроком. Если таких шкатулок две, то ведущий может открыть любую из них. Найдите равновесие Нэша.

8статические игры (а ля байесовские)

Задача 8.1.

Вариант «Битвы полов» Саша не совсем уверен, предпочитает ли Маша его компанию, или склонна избегать его. С точки зрения Саши:

опасно играть!

В матрицах платеж Саши указан первым.

а) Укажите количество типов каждого игрока; б) Сформулируйте чистые стратегии Саши и Маши;

в) Найдите равновесие по Нэшу в чистых стратегиях; г) И в смешанных!

Задача 8.2. Без слов

Природа выбирает матрицу игры. Тигр: Я даже знаю, как зовут эту Природу!

выбрала природа, второй - нет.

а) Укажите количество типов каждого игрока; б) Сформулируйте чистые стратегии игроков;

в) Найдите равновесие по Нэшу в чистых стратегиях; г) И в смешанных!

Задача 8.3. Непрерывный вариант

Значение 1 известно первому игроку, а значение 2 - второму.

(1; 0) (4 + 1; 1)

а) Найдите равновесие по Нэшу. Задача 8.4.

Равновесная стратегия для второго игрока?

а) Найдите равновесие по Нэшу. Задача 8.5.

Инвестиции Два партнера инвестируют 1 и 2 в совместное предприятие. Значение случайной величины

а) Найдите равновесие по Нэшу, в котором стратегии игроков имеют вид ( ) = + √ , где и - некоторые константы.

Задача 8.6. Конверты... [О]

В пяти конвертах спрятаны суммы в 10$, 20$, 40$, 80$ и 160$. Случайным образом выбираются два конверта с соседними суммами и выдаются игрокам. Тигр: А в конвертах - это взятки? Каждый игрок открывает свой конверт и выбирает, хочет ли он оставить себе сумму или хочет обменяться. Обмен происходит, если оба игрока согласны обменяться.

а) Сколько чистых стратегий у каждого игрока?

б) Найдите все равновесия по Нэшу в чистых и смешанных стратегиях. Источник: Jannssen, HSE-exam.

Задача 8.7. Мусоросжигательный завод [Т]

В стране городов. Около одного из них нужно построить большой мусоросжигательный завод. Предположим, что ущерб от мусоросжигательного завода для жителей каждого города - случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0; 1] . Каждый город объявляет компенсацию, требуемую за постройку мусоросжигательного завода поблизости. Завод строят около города, запросившего наименьшую компенсацию. Деньги выплачивают остальные города в равной пропорции.

Найдите симметричное равновесие по Нэшу в чистых стратегиях; Задача 8.8.

Величины и независимы и распределены равномерно на отрезке [0; 1]. Вася узнает предлагаемый ему приз , Петя узнает предлагаемый ему приз . Дальше каждый из игроков решает: брать свой приз или претендовать на приз противника. Игрок, выбравший свой приз, немедленно получает его. Если оба игрока решили претендовать на приз противника, то никто ничего не получает. Если один игрок решил взять свой приз, а второй решил претендовать на приз противника, то оба получают сумму, на которую согласился первый игрок.

а) Найдите равновесие по Нэшу б) Придумайте смысловой текст в) Вариация в1

Величины и независимы и распределены равномерно на отрезке [0; 1]. Вася узнает предлагаемый ему приз , Петя узнает предлагаемый ему приз . Дальше каждый из игроков решает: брать свой приз или претендовать на приз противника. Игрок, выбравший свой приз, немедленно получает его. Если оба игрока решили претендовать на приз противника, то каждый получает приз противника. Если один игрок решил взять свой приз, а второй решил претендовать на приз противника, то претендующий на приз противника не получает ничего.

Найдите равновесие по Нэшу. в) Вариация в2

Величины и независимы и распределены равномерно на отрезке [0; 1]. Вася узнает предлагаемый ему приз , Петя узнает предлагаемый ему приз . Дальше каждый из игроков решает:

брать свой приз или претендовать на приз противника. Если игроки выбрали разные призы, то они получают их. Если игроки выбрали один и тот же приз, то они делят его поровну. Найдите равновесие по Нэшу.

в) Вариация в3 Величины и независимы и распределены равномерно на отрезке [0; 1]. Вася узнает предла-

гаемый ему приз , Петя узнает предлагаемый ему приз . Дальше каждый из игроков решает: брать свой приз или претендовать на приз противника. Если игроки выбрали один и тот же приз, то они получают его (каждый в полном объеме). Если игроки выбрали разные призы, то они не получают ничего.

Найдите равновесие по Нэшу. Задача 8.9.

Рынок «лимонов» [Slantchev]

Встречаются два игрока: продавец и покупатель машины. Машина может быть хорошего качества («персик», для продавца ценность такой машины равна 3000, а для покупателя - 4000) с вероятностью и плохого качества («лимон», для продавца ценность такой машины равна 0, а для покупателя - 1000) с вероятностью (1 − ) . Продавец знает качество машины, а покупатель - нет. Похожая машина судя по объявлениям в газете была продана за сумму . Продавец и покупатель одновременно принимают решение: соглашаться ли на сделку по сумме . Сделка происходит только в том случае, если обе стороны согласны.

Найдите равновесие по Нэшу в зависимости от и и определите вероятности торговли «лимонами» и «персиками» в найденном равновесии.

Задача 8.10.

На рынке корову старик продавал... [Sloth]

Покупатель и продавец одновременно называют цены и . Если 6 , то обмен происходит

по цене + ; если нет, то обмена не происходит. Ценность коровы для покупателя и продавца -

2

независимые случайные величины и , распределенные равномерно на [0; 1] . Если обмен произошел по цене , то выигрыши равны = − и = − . Пусть - константа из [0; 1]

. Рассмотрим следующую пару стратегий: продавец называет цену , если < , и 1 иначе; покупатель называет цену , если > , и 0 иначе.

а) При каких такая пара стратегий будет равновесием по Нэшу?

б) В осях ( ; ) нарисуйте множество, для которого обмен происходит. С какой вероятностью происходит обмен? Всегда ли происходит обмен в случае < ?

в) Как зависят ожидаемые выигрыши покупателя и продавца от ?

Пусть игроки используют линейные стратегии ( ) = + и ( ) = + . г) Найдите равновесие по Нэшу в случае линейных стратегий.

д) В осях ( ; ) нарисуйте множество, для которого обмен происходит. С какой вероятностью происходит обмен? Всегда ли происходит обмен в случае < ?

Задача 8.11. Две игры[17]

а) Найдите все равновесия по Нэшу в каждой из игр; б) Пусть оба игрока не знают, в какую игру они играют. Найдите все равновесия по Нэшу в зависимости от параметра .

в) Пусть только второй игрок точно знает матрицу игры. Представьте эту игру, как статическую игру с неполной информацией: сколько типов у каждого игрока? сколько стратегий? Найдите

все равновесия по Нэшу для каждого . Представьте эту игру, как динамическую игру с несовершенной информацией.

г) Найдите все равновесия по Нэшу для каждого , если только первый игрок точно знает матрицу игры.

Задача 8.12. Выкуп доли

Доля Маши в ЗАО «Красивое платье» составляет , а доля Кати - (1 − ) . Маша и Катя решили отказаться от дальнейшего сотрудничества. У ЗАО должна быть одна владелица! Ценность ЗАО для каждой владелицы - случайная величина равномерно распределенная на [0; 1] .

а) Маша и Катя решили попробовать аукцион. Оба игрока одновременно называют цену ЗАО. Тот, кто назвал более высокую цену, должен выкупить акции партнера по предложенной им самим цене (более высокой). Найдите равновесие по Нэшу в линейных стратегиях, т.е. предлагаемая каждым игроком цена должна иметь вид = , где - его оценка стоимости ЗАО, а - константа. Не забудьте случай = 0 , т.е. Маша продавец, а Катя - покупатель. Возможно ли, что акции достанутся тому, кто их меньше ценит?

б) Маша и Катя снова экспериментируют. Оба игрока называют цену ЗАО. Тот, кто назвал более высокую цену, должен выкупить акции партнера по предложенной партнером цене (более низкой). Найдите равновесие по Нэшу в линейных стратегиях, т.е. предлагаемая каждым игроком цена должна иметь вид = + , где - его оценка стоимости ЗАО, а и - константы. Возможно ли, что акции достанутся тому, кто их меньше ценит?

Задача 8.13. Простой покер

Юля и Петя делают ставку по 1$. Далее каждый из них тайно от противника узнает свое число. Числа, получаемые Юлей и Петей, независимы и равномерно распределены на отрезке от нуля до единицы. Затем Юля и Петя одновременно выбирают, доложить ли еще по 5$, или сбросить карты. Если оба игрока сбросили карты, то оба теряют свою первоначальную ставку в пользу казино; если один сбросил, а другой увеличил ставку, то увеличивший забирает себе все, что находится на кону; если оба игрока увеличили ставку, то победителем считается тот, у кого число больше.

Найдите равновесия по Нэшу в этой игре (для простоты можно исключить нестрого доминируемые стратегии); Задача 8.14.

Снова простой покер Юля и Петя делают ставку по 1$. Далее они по очереди тянут из шляпы бумажки с числами.

В шляпе лежат натуральные числа от 1 до . Затем Юля и Петя одновременно выбирают, доложить ли еще по 5$, или сбросить карты. Если оба игрока сбросили карты, то оба теряют свою первоначальную ставку в пользу казино; если один сбросил, а другой увеличил ставку, то увеличивший забирает себе все, что находится на кону; если оба игрока увеличили ставку, то победителем считается тот, у кого число больше.

Найдите все равновесия по Нэшу в этой игре для = 3; Задача 8.15.

Издержки в секрете Рассмотрите следующий вариант модели Курно. Функция спроса имеет вид = − , где

= 1 + 2 . Предельные издержки обоих фирм - независимые одинаково распределенные

случайные величины ( = ) = ( = ) = 12 , где > .

Пусть и свои, и чужие предельные издержки известны обеим фирмам. а) Найдите равновесие по Нэшу;

Пусть каждая фирма наблюдает реализацию только своих предельных издержек. б) Найдите равновесие по Нэшу; в) Сравните матожидание и дисперсию равновесного выпуска в обоих случаях.

Источник: Colell. Задача 8.16.

Два игрока одновременно выбирают действительные числа 1 и 2 , соответственно. Платежные функции имеют вид

а) Найдите равновесие по Нэшу; б) Найдите вероятности каждого из четырех исходов;

в) Изобразите на плоскости множество возможных платежей и множество равновесных платежей. Допустим, перед началом игры оба игрока наблюдают результат подбрасывания монетки.

г) Как изменится множество стратегий игроков? д) Как изменятся ответы на пункты а, б и в?

Допустим, перед началом игры происходит одно из трех равновероятных событий , или . Первый игрок знает, произошло ли , или нет. Второй игрок знает, произошло ли .

Первый игрок точно знает, какой вид имеют платежные функции, второй знает только закон распределения.

а) Найдите равновесие по Нэшу в чистых стратегиях; б) Предположим, что первый игрок до того, как второй игрок сделает свой ход, может послать

ему один из двух сигналов «А» или «Б» (не обязательно достоверный!). Найдите равновесие по Нэшу в таком варианте игры.

Задача 8.19.

Меньше знаешь - крепче спишь Матрица игры имеет один из двух видов (вероятность каждого вида равна 0,5). Первый игрок

Найдите равновесие по Нэшу и платеж второго игрока; б) Допустим, что второй игрок также знает матрицу игры. Найдите новое равновесие по Нэшу;

в) Почему не срабатывает рассуждение «второй игрок может отказаться от лишней информации, поэтому его платеж не может упасть»?

Тигр: Многие знания означают многие печали

Задача 8.20.