Г л а в а 4. Электромагнитное излучение в среде

4.1. Уравнения Максвелла в среде

Микроскопическое электрическое и магнитноеполя в среде, создаваемые микроскопической плотностью зарядови токов, описываются уравнениями Максвелла [1]:

, (4.1)

, (4.2)

, (4.3)

, (4.4)

где – скорость света в вакууме. Напомним, что уравнение (4.1) представляет собой закон электромагнитной индукции. Уравнение (4.2) постулирует отсутствие магнитных зарядов. Из уравнения (4.3) вытекает закон Ампера для магнитного поля (2-е слагаемое в правой части равенства (4.3)), кроме того, оно содержит добавленный Максвеллом ток смещения (первое слагаемое в правой части (4.3)). Наконец, уравнение (4.4) описывает закон Кулона в дифференциальной форме.

Фигурирующие в системе (4.1) – (4.4) микроскопические поля имеют сложную пространственную структуру, отражающую особенности атомного строения вещества. Тонкие детали этих полей содержат в себе избыточную информацию, как правило, ненужную в практических приложениях. Чтобы преодолеть эти недостатки, вместо микроскопических полей ирассматриваютсямакроскопические поля и, определяемые согласно равенствам

и , (4.5)

где усреднение производится по физически бесконечно малому объему содержащему точку. Под физически бесконечно малым объемом понимается объем, достаточно малый, чтобы удержать практически необходимую информацию о пространственной структуре поля, и в то же время достаточно большой, чтобы сгладить микронеоднородности электромагнитного поля.

После усреднения по формулам (4.5) левых и правых частей равенств (4.1) – (4.4) система уравнений Максвелла принимает вид

, (4.6)

, (4.7)

, (4.8)

. (4.9)

В правой части равенства (4.8) плотность электрического тока, усредненная по физически бесконечно малому объему, представлена в виде суммы плотности тока проводимости и плотности тока связанных зарядов. Для плотности тока проводимости справедлив закон Ома в дифференциальной форме:

, (4.10)

где – проводимость среды. Чтобы описать плотность тока связанных зарядов, вводится вектор поляризации среды, который по определению является дипольным моментом единицы объема среды. С его помощью имеем

. (4.11)

Вектор поляризации среды связан с усредненной по бесконечно малому физическому объему плотностью связанных зарядов , фигурирующей в правой части уравнения (4.9), согласно равенству

. (4.12)

В правой части (4.9) для общности введена плотность внешних зарядов , которую в дальнейшем будем полагать равной нулю, т.е. считать среду в целом электрически нейтральной. Кроме того, мы предполагаем, что среда немагнитна, т.е. вектор магнитной индукции в ней совпадает с вектором магнитного поля:.

Три составляющие вектора поляризации среды могут описать (согласно равенствам (4.11) – (4.12)) четырехвектор плотности тока, поскольку компоненты последнего не являются независимыми, а связаны уравнением непрерывности:

, (4.13)

выражающим закон сохранения электрического заряда в дифференциальной форме. В то же время равенство (4.13), как в этом легко убедиться, автоматически выполняется для любого вектора , т.е. не накладывает на его компоненты никаких дополнительных связей.

Уравнения Максвелла (4.8) и (4.9) можно записать в более компактном виде, если ввести вектор электрической индукции согласно равенству

. (4.14)

Тогда вместо уравнений (4.7) и (4.8) с учетом закона Ома (4.10) имеем

, (4.15)

. (4.16)