МНОГОМЕРНЫЕ_КУБИЧЕСКИЕ_СПЛАЙНЫ
.pdf
1
Многомерные кубические сплайны
Ханукаев Ю.И. (khan@ptci.ru)
При поддержке РФФИ тема 2-07-90327
|
Одномерный кубический сплайн |
|
|
|
|
|||
|
r(u) =r0 R0 (u) + τ0T0 (u) +r1 R1 (u) − τ1T1 (u), |
0 ≤u ≤1, , |
(1) |
|||||
где |
R (u) = (1 + 2u)(1 −u)2 |
, |
R (u) = (3 − 2u)u 2 , |
T (u) =u(1 −u)2 , |
||||
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
T (u) = (1 −u)u 2 и r ,r , τ |
0 |
, τ |
1 |
произвольные |
векторы |
определяет |
||
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
||
пространственную параметрическую кривую, которая начинается и кончается соответственно в точках
r(0) =r0 , |
r(1) =r1 . |
Кроме того, в |
|
τ(0)=τ0 |
|
|
τ(1)=τ1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
этих точках касательными к кривой |
|
|
|
r(u) |
|
|
|
|||||||||||
являются векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ(u) |
r(1)=r1 |
|||||||
τ( 0 ) = ∂r |
|
|
= τ0 , τ(1) = ∂r |
|
|
= τ1 . |
r(0)=r0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∂u |
|
u=0 |
|
|
|
|
|
∂u |
|
u=1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Это свойство позволяет строить гладкую |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
кривую, стыкуя сплайны типа (1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В промежуточных точках вектор касательной определяется выражением |
||||||||||||||||||
τ(u) = |
∂r(u) |
|
′ |
′ |
′ |
(u) − τ |
|
′ |
(2) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
∂u |
=r0 R0 (u) + |
τ0T0 |
(u) |
+ r1 R1 |
1T1 (u) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где R0′(u) = |
∂R0 (u) |
= −6u(1 −u), |
T0′(u) = |
∂T0 (u) |
=(1 −u)(1 − 3u), |
|||||||||||||
|
|
∂u |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
′ |
|
|
|
|
∂R0 (u) |
|
|
|
|
|
′ |
|
∂T0 (u) |
|
|
|||
R1 (u) = |
|
|
|
|
=6u(1 −u), |
T1 (u) = |
|
|
=u(2 |
−3u), |
||||||||
|
∂u |
|
∂u |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Построим двумерный сплайн |
r(u,v), |
0 ≤u ≤1, |
0 ≤v ≤1. |
|||||||||||||||
Пусть каждая точка сплайна |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
r(u,0) =r00 R0 (u) + τ00T0 (u) +r10 R1 (u) − τ10T1 (u) |
(α1 ) |
|||||||||||||||||
при изменении параметра 0 ≤ v ≤1 переходит в соответствующую точку сплайна |
||
r(u,1) =r01 R0 (u) + τ01T0 (u) + r11 R1 (u) − τ11T1 (u) |
|
(α2 ) |
по кривой |
(v) |
|
r(u,v) =r(u,0)R0 (v) +σ0 (u)T0 (v) +r(u,1)R1 (v) −σ1 (u)T1 |
(α3 ) |
|
Подставим выражения (α1 ) и (α2 ) в (α3 ) |
|
|
r(u,v) =σ0 (u)T0 (v) −σ1 (u)T1 (v) + |
|
|
+[r00 R0 (u) + τ00T0 (u)]R0 (v) +[r10 R1 (u) − τ10T1 (u)]R0 (v) + |
|
(α ) |
+[r01 R0 (u) + τ01T0 (u)]R1 (v) +[r11 R1 (u) − τ11T1 (u)]R1 (v). |
|
|
Аналогичным образом, пусть теперь каждая точка сплайна |
|
|
r(0,v) =r00 R0 (v) +σ00T0 (v) +r01 R1 (v) −σ01T1 (v) |
|
( β1 ) |
при изменении параметра 0 ≤u ≤1переходит в соответствующую точку сплайна
2
r(1,v) =r10 R0 (v) +σ10T0 (v) + r11 R1 (v) −σ11T1 (v) |
( β2 ) |
|
по кривой |
|
|
r(u,v) =r(0,v)R0 (u) + τ0 (v)T0 (u) +r(1,v)R1 (u) − τ1 (v)T1 (u) |
( β3 ) |
|
Подставляя выражения ( β1 ) и ( β2 ) в ( β3 ), получаем |
|
|
r(u,v) = τ0 (v)T0 (u) − τ1 (v)T1 (u) + |
|
|
+[r00 R0 (v) + σ00T0 (v)]R0 (u) +[r01 R1 (v) −σ01T1 |
(v)]R0 (u) + |
( β ) |
+[r10 R0 (v) + σ10T0 (v)]R1 (u) +[r11 R1 (v) −σ11T1 |
(v)]R1 (u). |
|
Сравнивая сплайны (α ) и ( β ), получаем
σ0 (u) =σ00 R0 (u) + σ10 R1 (u), σ1 (u) =σ01 R0 (u) + σ11 R1 (u), τ0 (v) = τ00 R0 (v) + τ01 R1 (v), τ1 (v) = τ10 R0 (v) + τ11 R1 (v).
Итак, имеем двумерный сплайн, определяемый четырьмя произвольными векторами rij i, j =0,1 и четырьмя парами произвольных касательных векторов
τij ,σij i, j =0,1
r(u,v) =r00 R0 (u)R0 (v) + τ00T0 (u)R0 (v) + σ00 R0 (u)T0 (v) +
+ r10 R1 (u)R0 (v) − τ10T1 (u)R0 (v) +σ10 R1 |
(u)T0 (v) + |
(3) |
|||
+ r01 R0 (u)R1 (v) + τ01T0 (u)R1 (v) −σ01 R0 (u)T1 (v) + |
|||||
|
|||||
+ r11 R1 (u)R1 (v) − τ11T1 (u)R1 (v) −σ11 R1 (u)T1 (v). |
|
||||
|
|
r(10) |
τ(1,0)=τ10 |
|
|
r(00) |
|
|
|
||
|
σ(1,0)=σ10 |
τ(1,1)=τ11 |
|||
|
|
||||
τ(0,0)=τ00 |
τ(0,1)=τ01 |
r(11) |
|
||
σ(0,0)=σ00 |
r(01) |
|
σ(1,1)=σ11 |
|
|
|
|
|
|||
|
σ(0,1)=σ01 |
|
|
||
Этот сплайн определяет касательные векторы
τ(u,v) =r00 R0′(u)R0 (v) + τ00T0′(u)R0 (v) +σ00 R0′(u)T0 (v) +
+ r10 R1′(u)R0 (v) − τ10T1′(u)R0 (v) +σ10 R1′(u)T0 (v) + + r01 R0′(u)R1 (v) + τ01T0′(u)R1 (v) −σ01 R0′(u)T1 (v) +
+ r11 R1′(u)R1 (v) − τ11T1′(u)R1 (v) −σ11 R1′(u)T1 (v), σ(u,v) =r00 R0 (u)R0′(v) + τ00T0 (u)R0′(v) + σ00 R0 (u)T0′(v) +
+ r10 R1 (u)R0′(v) − τ10T1 (u)R0′(v) +σ10 R1 (u)T0′(v) +
+r01R0 (u)R1′(v) + τ01T0 (u)R1′(v) −σ01R0 (u)T1′(v) +
+r11R1 (u)R1′(v) − τ11T1 (u)R1′(v) −σ11R1 (u)T1′(v)
инормаль к поверхности n(u,v) = τ(u,v) ×σ(u,v) .
(4)
(5)
|
3 |
|
|
|
20 |
30 0 |
|
|
40 |
20 |
|
|
||
10 |
40 |
|
|
20 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
-20 |
|
|
|
|
40 |
40 |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
0 |
|
|
|
|
-20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
30 |
20 |
10 |
0 |
Сплайн (3) обладает важным свойством, которое состоит в том, что значения векторов r(u.v), τ(u,v) и σ(u,v) на любой границе определяются только
характерными векторами границы rij , τij , σij i, j =0,1 и параметром u или v .
r(0,v) =r00 R0 (v) +σ00T0 (v) +r01 R1 (v) −σ01T1 (v),
τ(0,v) = τ00 R0 (v) + τ01 R1 (v),
σ(0,v) =r00 R0′(v) +σ00T0′(v) +r01 R1′(v) −σ01T0′(v) , r(1,v) =r10 R0 (v) +σ10T0 (v) + r11 R1 (v) −σ11T1 (v),
τ(1,v) = τ10 R0 (v) + τ11 R1 (v),
σ(1,v) =r10 R0′(v) +σ10T0′(v) +r11 R1′(v) −σ11T1′(v),
r(u,0) =r00 R0 (u) + τ00T0 (u) +r10 R1 (u) − τ10T1 (u)
τ(u,0) =r00 R0′(u) + τ00T0′(u) +r10 R1′(u) − τ10T1′(u),
σ(u,0) =σ00 R0 (u) + σ10 R1 (u),
r(u,1) =r01 R0 (u) + τ01T0 (u) + r11 R1 (u) − τ11T1 (u),
τ(u,1) =r01 R0′(u) + τ01T0′(u) +r11 R1′(u) − τ11T1′(u),
σ(u,1) =σ01 R0 (u) + σ11 R1 (u).
Отмеченная особенность векторов r(u,v) , τ(u,v) и σ(u, v) позволяет гладким образом строить составные поверхности по набору векторов rij , τij ,σij , стыкуя сплайны r(u,v) .
4
Построим трехмерный сплайн r(u,v, w) , 0 ≤u ≤1, 0 ≤v ≤1, 0 ≤ w ≤1 -
область |
пространства |
ограниченную |
поверхностями |
типа |
(3) |
|||
r(0,v, w), |
r(1,v, w), r(u,0, w), r(u,1, w), |
r(u,v,0), r(u, v,1) . |
|
|||||
Ребра этого трехмерного сплайна (общие кривые граничных двумерных |
||||||||
сплайнов) |
– |
есть |
одномерные |
кубические |
сплайны |
типа |
(1) |
|
r(u,0,0), r(u,1,0), r(u,0,1), r(u,1,1), r(0,v,0), r(1,v,0), r(0,v,1), r(1,v,1), r(0,0, w), r(1,0, w), r(0,1, w), r(1,1, w) .
В |
каждой вершине |
сплайна |
r(0,0,0) =r000 , |
r(1,0,0) =r100 , |
r(0,1,0) =r010 , r(0,0,1) =r001 , |
.... r(1,1,1) =r111 зададим |
три вектора |
||
τij ,σij ,κij |
i =0,1, касательных к ребрам. |
Каждая пара этих векторов касается |
||
соответствующей грани.
Пусть каждая точка двумерного сплайна
r(u,v,0) =r000 R0 (u)R0 (v) + τ000T0 (u)R0 (v) +σ000 R0 (u)T0 (v) +
+r100 R1 (u)R0 (v) − τ100T1 (u)R0 (v) +σ100 R1 (u)T0 (v) +
+r010 R0 (u)R1 (v) + τ010T0 (u)R1 (v) −σ010 R0 (u)T1 (v) +
+r110 R1 (u)R1 (v) − τ110T1 (u)R1 (v) −σ110 R1 (u)T1 (v)
при изменении параметра 0 ≤ w ≤1 переходит в соответствующую точку сплайна
r(u,v,1) =r001 R0 (u)R0 (v) + τ001T0 (u)R0 (v) +σ001 R0 (u)T0 (v) +
+r101 R1 (u)R0 (v) − τ101T1 (u)R0 (v) +σ101 R1 (u)T0 (v) +
+r011 R0 (u)R1 (v) + τ011T0 (u)R1 (v) −σ011 R0 (u)T1 (v) +
+r111 R1 (u)R1 (v) − τ111T1 (u)R1 (v) −σ111 R1 (u)T1 (v)
по кривой r(u,v, w) =r(u,v,0)R0 (w) +κ0 (u,v)T0 (w) + +r(u,v,1)R1 (w) −κ1 (u,v)T1 (w).
Подстановка r(u,v,0), r(u,v,1) в r(u,v, w) дает
r(u,v, w) =κ0 (u,v)T0 (w) −κ1 (u,v)T1 (w) +
+r000 R0 (u)R0 (v)R0 (w) + τ000T0 (u)R0 (v)R0 (w) +σ000 R0 (u)T0 (v)R0 (w) +
+r100 R1 (u)R0 (v)R0 (w) − τ100T1 (u)R0 (v)R0 (w) +σ100 R1 (u)T0 (v)R0 (w) +
+r010 R0 (u)R1 (v)R0 (w) + τ010T0 (u)R1 (v)R0 (w) −σ010 R0 (u)T1 (v)R0 (w) +
+r |
R |
(u)R |
(v)R (w) − τ |
110 |
T |
(u)R |
(v)R (w) −σ |
110 |
R |
(u)T |
(v)R (w) + (γ |
1 ) |
110 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
+r001 R0 (u)R0 (v)R1 (w) + τ001T0 (u)R0 (v)R1 (w) +σ001 R0 (u)T0 (v)R1 (w) +
+r101 R1 (u)R0 (v)R1 (w) − τ101T1 (u)R0 (v)R1 (w) + σ101 R1 (u)T0 (v)R1 (w) +
+r011 R0 (u)R1 (v)R1 (w) + τ011T0 (u)R1 (v)R1 (w) −σ011 R0 (u)T1 (v)R1 (w) +
+r111 R1 (u)R1 (v)R1 (w) − τ111T1 (u)R1 (v)R0 (w) −σ111 R1 (u)T1 (v)R1 (w).
5
Далее пусть каждая точка двумерного сплайна
r(0,v, w) =r000 R0 (v)R0 (w) +σ000T0 (v)R0 (w) +κ000 R0 (v)T0 (w) +
+r010 R1 (v)R0 (w) −σ010T1 (v)R0 (w) +κ010 R1 (v)T0 (w) +
+r001 R0 (v)R1 (w) +σ001T0 (v)R1 (w) −κ001 R0 (v)T1 (w) +
+r011 R1 (v)R1 (w) −σ011T1 (v)R1 (w) −κ011 R1 (v)T1 (w)
при изменении параметра 0 ≤u ≤1 переходит в соответствующую точку двумерного сплайна
r(1,v, w) =r100 R0 (v)R0 (w) +σ100T0 (v)R0 (w) +κ100 R0 (v)T0 (w) +
+r110 R1 (v)R0 (w) −σ110T1 (v)R0 (w) +κ110 R1 (v)T0 (w) +
+r101 R0 (v)R1 (w) +σ101To (v)R1 (w) −κ101 R0 (v)T1 (w) +
+r111 R1 (v)R1 (w) −σ111T1 (v)R1 (w) −κ111 R1 (v)T1 (w)
по кривой r(u,v, w) =r(0,v, w)R0 (u) + τ0 (v, w)T0 (u) +
|
+r(1,v, w)R1 (u) − τ1 (v, w)T1 (u). |
|
|
|
Подстановка r(0,v, w), r(1,v, w) в r(u,v, w) дает |
|
|
||
|
r(u,v, w) = τ0 (v, w)T0 (u) −τ1 (v, w)T1 (u) + |
|
|
|
+r000 R0 |
(u)R0 (v)R0 (w) +σ000 R0 (u)T0 (v)R0 (w) +κ000 R0 (u)R0 (v)T0 (w) + |
|
|
|
+r010 R0 |
(u)R1 (v)R0 (w) −σ010 R0 (u)T1 (v)R0 (w) +κ010 R0 (u)R1 (v)T0 (w) + |
|
|
|
+r001 R0 |
(u)R0 (v)R1 (w) +σ001 R0 (u)T0 (v)R1 (w) −κ001 R0 (u)R0 (v)T1 (w) + |
(γ |
2 ) |
|
+r011 R0 |
(u)R1 (v)R1 (w) −σ011 R0 (u)T1 (v)R1 (w) −κ011 R0 (u)R1 (v)T1 (w) + |
|||
|
|
|||
+r100 R1 (u)R0 (v)R0 (w) +σ100 R1 (u)T0 (v)R0 (w) +κ100 R1 (u)R0 (v)T0 (w) +
+r110 R1 (u)R1 (v)R0 (w) −σ110 R1 (u)T1 (v)R0 (w) +κ110 R1 (u)R1 (v)T0 (w) +
+r101 R1 (u)R0 (v)R1 (w) +σ101 R1 (u)T0 (v)R1 (w) −κ101 R1 (u)R0 (v)T1 (w) +
+r111 R1 (u)R1 (v)R1 (w) −σ111 R1 (u)T1 (v)R1 (w) −κ111 R1 (u)R1 (v)T1 (w).
Наконец, пусть каждая точка двумерного сплайна
r(u,0, w) =r000 R0 (u)R0 (w) + τ000T0 (u)R0 (w) +κ000 R0 (u)T0 (w) +
+r100 R1 (u)R0 (w) − τ100T1 (u)R0 (w) + κ100 R1 (u)T0 (w) +
+r001 R0 (u)R1 (w) + τ001T0 (u)R1 (w) −κ001 R0 (u)T1 (w) +
+r101 R1 (u)R1 (w) − τ101T1 (u)R1 (w) −κ101 R1 (u)T1 (w)
при изменении параметра 0 ≤ v ≤1 переходит в соответствующую точку двумерного сплайна
r(u,1, w) =r010 R0 (u)R0 (w) + τ010T0 (u)R0 (w) + κ010 R0 (u)T0 (w) +
+r110 R1 (u)R0 (w) − τ110T1 (u)R0 (w) + κ110 R1 (u)T0 (w) +
+r011 R0 (u)R1 (w) + τ011T0 (u)R1 (w) −κ011 R0 (u)T1 (w) +
+r111 R1 (u)R1 (w) − τ111T1 (u)R1 (w) −κ111 R1 (u)T1 (w)
6
по кривой r(u,v, w) =r(u,0, w)R0 (v) +σ(u,v)T0 (v) +
+r(u,1, w)R1 (v) −σ(u,v)T1 (v).
Подстановка r(u,0, w), r(u,1, w) в r(u,v, w) дает r(u,v, w) =σ(u,v)T0 (v) −σ(u,v)T1 (v) +
+r000 R0 (u)R0 (v)R0 (w) + τ000T0 (u)R0 (v)R0 (w) + κ000 R0 (u)R0 (v)T0 (w) +
+r100 R1 (u)R0 (v)R0 (w) − τ100T1 (u)R0 (v)R0 (w) + κ100 R1 (u)R0 (v)T0 (w) +
+r001 R0 (u)R0 (v)R1 (w) + τ001T0 (u)R0 (v)R1 (w) −κ001 R0 (u)R0 (v)T1 (w) +
+r101 R1 (u)R0 (v)R1 (w) − τ101T1 (u)R0 (v)R1 (w) −κ101 R1 (u)R0 (v)T1 (w) + (γ3 )
+r010 R0 (u)R1 (v)R0 (w) + τ010T0 (u)R1 (v)R0 (w) +κ010 R0 (u)R1 (v)T0 (w) +
+r110 R1 (u)R1 (v)R0 (w) − τ110T1 (u)R1 (v)R0 (w) + κ110 R1 (u)R1 (v)T0 (w) +
+r011 R0 (u)R1 (v)R1 (w) + τ011T0 (u)R1 (v)R1 (w) −κ011 R0 (u)R1 (v)T1 (w) +
+r111 R1 (u)R1 (v)R1 (w) − τ111T1 (u)R1 (v)R1 (w) −κ111 R1 (u)R1 (v)T1 (w).
Получившиеся три сплайна (γ1 ),(γ2 ) и (γ3 ) тождественно совпадают если
τ0 (v, w)T0 (u) = τ000T0 (u)R0 (v)R0 (w) + τ001T0 (u)R0 (v)R1 (w) +
+τ010T0 (u)R1 (v)R0 (w) + τ011T0 (u)R1 (v)R1 (w),
−τ1 (v, w)T1 (u) = −τ100T1 (u)R0 (v)R0 (w) − τ101T1 (u)R0 (v)R1 (w) −
−τ110T1 (u)R1 (v)R0 (w) − τ111T1 (u)R1 (v)R1 (w), σ(u,v)T0 (v) = σ000 R0 (u)T0 (v)R0 (w) +σ001 R0 (u)T0 (v)R1 (w) +
+σ100 R1 (u)T0 (v)R0 (w) +σ101 R1 (u)T0 (v)R1 (w),
−σ(u,v)T1 (v) = −σ010 R0 (u)T1 (v)R0 (w) −σ011 R0 (u)T1 (v)R1 (w) −
−σ110 R1 (u)T1 (v)R0 (w) −σ111 R1 (u)T1 (v)R1 (w),
κ0 (u,v)T0 (w) = κ000 R0 (u)R0 (v)T0 (w) + κ100 R1 (u)R0 (v)T0 (w) +
+κ010 R0 (u)R1 (v)T0 (w) + κ110 R1 (u)R1 (v)T0 (w)
−κ1 (u,v)T1 (w) = −κ001 R0 (u)R0 (v)T1 (w) −κ101 R1 (u)R0 (v)T1 (w) −
−κ011 R0 (u)R1 (v)T1 (w) −κ111 R1 (u)R1 (v)T1 (w).
Итак, имеем трехмерный сплайн r(u,v, w) =
=r000 R0 (u)R0 (v)R0 (w) + τ000T0 (u)R0 (v)R0 (w) +
+σ000 R0 (u)T0 (v)R0 (w) +κ000 R0 (u)R0 (v)T0 (w) + +r100 R1 (u)R0 (v)R0 (w) − τ100T1 (u)R0 (v)R0 (w) +
+σ100 R1 (u)T0 (v)R0 (w) +κ100 R1 (u)R0 (v)T0 (w) + +r010 R0 (u)R1 (v)R0 (w) + τ010T0 (u)R1 (v)R0 (w) −
−σ010 R0 (u)T1 (v)R0 (w) +κ010 R0 (u)R1 (v)T0 (w) + +r110 R1 (u)R1 (v)R0 (w) − τ110T1 (u)R1 (v)R0 (w) −
−σ110 R1 (u)T1 (v)R0 (w) +κ110 R1 (u)R1 (v)T0 (w) +
7
+r001R0 (u)R0 (v)R1 (w) + τ001T0 (u)R0 (v)R1 (w) +
+σ001R0 (u)T0 (v)R1 (w) −κ001R0 (u)R0 (v)T1 (w) +
+r101R1 (u)R0 (v)R1 (w) − τ101T1 (u)R0 (v)R1 (w) +
+σ101R1 |
(u)T0 |
(v)R1 (w) −κ101R1 (u)R0 (v)T1 (w) |
+ |
(6) |
|
+r011R0 (u)R1 |
(v)R1 |
(w) + τ011T0 (u)R1 (v)R1 (w) − |
|
||
|
|
||||
−σ011R0 (u)T1 |
(v)R1 (w) −κ011R0 (u)R1 (v)T1 (w) + |
|
|||
+r111R1 (u)R1 (v)R1 |
(w) − τ111T1 (u)R1 (v)R0 (w) − |
|
|
||
−σ111R1 |
(u)T1 |
(v)R1 (w) −κ111R1 (u)R1 (v)T1 (w). |
|
|
|
Этот сплайн определяет систему некомпланарных векторов, касательных к координатным линиям u,v, w и нормальных к координатным поверхностям uv,vw, wu .
Далее будет решен ряд стандартных задач. Для кривой (1) как функции параметра u , найти
-радиус кривизны и кручение,
-построить естественный трехгранник,
-найти вектор Дарбу и центральную ось,
-построить эволюту и эвольвенту. Для каждой точки поверхности (3)
-найти главные кривизны,
-вычислить символы Кристоффеля,
-построить тензор кривизны Римана,
-построить геодезические из заданной точки поверхности в заданном
направлении. Для области (6)
-вычислить символы Кристоффеля,
-построить дифференциальные операторы первого и второго порядка.