Baskakov_Integraly,zavisyaschie_ot_parametra_2013

a

существует как собственный интеграл Римана.

Определение 2.3. Сходящийся на множестве Y интеграл

∫b f (x, y) dx называется равномерно сходящимся на этом множест-

a

ве, если для любого ε > 0 найдется такое ηε (a, b) , что для всех y Y и всех η (ηε , b) выполняется неравенство

Замечание. Приведенное определение дано для случая (2.2), (2.3). В более общем случае назовем точку ξ (a, b) «особой», если

для некоторого y0 Y (или для нескольких, или для всех y Y ) функция g(x) = f (x, y0 ) является неограниченной в любой сколь угодно малой окрестности точки ξ. Кроме того, назовем «особой» точку a, если a =−∞ или f (x, y0 ) неограниченна в любой право-

сторонней окрестности точки a. Аналогично, точка b – особая, если b = +∞ или f (x, y0 ) неограниченна в любой левосторонней окре-

стности точки b. Обозначим через E множество всех точек ξ, которые для функции f (x, y) являются особыми. Пусть E состоит из конечного числа точек ξ1 , ..., ξn (случай, когда E состоит из бесконечного числа точек, нами рассматриваться не будет). Пусть для

ве, если для любого ε > 0 найдутся такие η1 , ζ1 , η2 , ζ2 , …, ηn−1 ,

ζn−1 , ηn , что

a < η1 < ξ1 < ζ1 < η2 < ξ2 < ζ2 <... < ηn−1 < ξn−1 < ζn−1 < ηn < b

11

для всех y Y .

Однако, как уже отмечалось, относительно функции f (x, y) во

всех последующих теоремах этого раздела предполагаем выполненными условия (2.2), (2.3).

Теорема 2.1 (признак Вейерштрасса). Если существует такая неотрицательная функция ϕ(x) , определенная на промежутке

признака сравнения ([1], с. 403) сходимости несобственных интегралов, что при всяком y Y сходится интеграл

∫b f (x, y) dx ,

a

а потому и интеграл

12

∫b f (x, y) dx

a

также сходится при всяком y Y (если интеграл абсолютно схо-

дится, то он и просто сходится [1, с. 408]). В силу условия (2.5) для любого ε > 0 найдется такое ηε (a, b) , что при η (ηε , b) будет

выполнено

∫b ϕ(x) dx < ε,

η

и потому, интегрируя неравенство

f (x, y) ≤ϕ(x)

от η до b, получаем

∫b f (x, y) dx ≤ ∫b ϕ(x) dx < ε.

ηη

ηη

поскольку в (2.6) величина η зависит (посредством ηε ) лишь от ε , но не от y Y .

Теорема доказана.

Теорема 2.2 (критерий Коши равномерной сходимости инте-

гралов). Для равномерной сходимости интеграла ∫b f (x, y) dx по

a

множеству Y необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0

13

нашлось такое ηε (a, b) , что для всех η1 и η2 из интервала (ηε , b) и всех y Y выполнялось соотношение

и необходимость доказана.

Достаточность. Пусть выполнено (2.7). Переходя в (2.7) к супремуму по η2 (η1 , b) , получаем

14

получаем

сходимость ∫b f (x, y) dx . Теорема доказана.

a

В приложениях часто бывает полезен следующий признак равномерной сходимости интегралов.

+∞∫ g(x, y) f (x, y) dx равномерно сходится на множестве Y.

a

Доказательство. Рассмотрим случай, когда g(x, y) монотонно убывает. Положим

В силу условия 2 имеем M < +∞ . Воспользовавшись равномерным по y Y стремлением g(x, y) к нулю при x → +∞ , найдем

для произвольного ε > 0 такое ηε > a , что при всяком η> ηε будет

15

y Y сходится по предыдущей теореме. Аналогично рассматривается случай, когда g(x, y) монотонно возрастает.

Перейдем к рассмотрению свойств равномерно сходящихся несобственных интегралов.

Теорема 2.4. Пусть −∞ < a <b ≤ +∞, функция f (x, y) определена для всех x [a, b) , y Y , и при любом y Y непрерывна по x [a, b) . Тогда если при любом η (a, b) функция f (x, y) на от-

16

резке [a, η] равномерно стремится к функции ψ(x) при y → y0 и интеграл

∫b f (x, y) dx

a

равномерно сходится на множестве Y, то

Доказательство. В силу равномерной по y Y сходимости ин-

для наперед заданного ε > 0 найдется такое ηε (a, b) , что при произвольных η1 , η2 , принадлежащих интервалу (ηε , b) , соотношение

следствия теоремы 1.1 можно при всяких фиксированных η1 и η2 перейти к пределу под знаком интеграла), получаем

η∫2 f (x, y0 ) dx ≤ ε

η1

и, следовательно, по критерию Коши существования предела функции ([1], с. 121) существует предел, величину которого обозначим A:

17

= ∫b ψ(x) dx = A .

С этой целью для наперед заданного ε > 0 найдем такое ηε (a, b) ,

было выполнено одновременно при всех x [a, η] . С учетом (2.11), (2.12) и (2.13) запишем

bη

≤∫ f (x, y) dx + ∫[ f (x, y) −ψ(x)] dx +

ηa

18

чем и доказывается соотношение (2.10), а также с ним и теорема. Теорема 2.5. Пусть функция f (x, y) определена и непрерывна

(как функция двух переменных) на полуоткрытом прямоугольнике

Доказательство. Пусть y0 – произвольная точка отрезка [c, d] . В силу условий теоремы функция f (x, y) при каждом η (a, b) непрерывна на компакте

{(x, y) : a ≤ x ≤ η, c ≤ y ≤ d} ,

а потому и равномерно непрерывна на нем (теорема Г. Кантора, [1], с. 268); следовательно, при y → y0 функция f (x, y) стремится к

функции f (x, y0 ) равномерно по x [a, η] . Таким образом, выполнены все предположения предыдущей теоремы и

что и означает непрерывность функции Φ( y) в точке y0 .

Теорема доказана.

Замечание. Теоремы 2.4 и 2.5 являются аналогами теоремы 1.1 и ее следствия для несобственных интегралов.

Теорема 2.6. Если выполнены предположения теоремы 2.5, то

19

Доказательство. При всяком η (a, b) имеем по теореме 1.3

равномерно по y [c, d] стремится к своему пределу Φ( y) . Следо-

вательно, по теореме 1.2 в левой части (2.14) можно перейти к пределу под знаком интеграла при η→b −0

η→b −0 существует тот же предел и у правой части (2.14), который в силу определения несобственного интеграла равен

∫b dx∫d f (x, y) dy .

a c

Теорема доказана.

Большой интерес представляют теоремы о перестановке порядка интегрирования, когда оба интеграла несобственные.

равномерно сходится на любом отрезке [c, η] , η (c, d) , а интеграл

20