Baskakov_Integraly,zavisyaschie_ot_parametra_2013

α+1

β+1

= 1

Γ

Γ

2

2 .

π/ 2

π

J =

∫

+ ∫

sin2m x dx

0

π/ 2

π/ 2

1

1

∫ sin

2m

J = 2

x dx = B

m

+

,

=

0

2

2

1

1

1

3

3

1

Γ m +

Γ

m −

m

−

...

π

π

=

2

2

=

2

2

2

2

=

Γ(m +1)

m!

=

(2m −1)!!

π.

2m m!

+∞

xm−1 dx

Пример 4.10. Вычислить J = ∫

,

n > 0 .

(1 + x

n

)

p

0

Выполнив замену переменной t =

1

,

x

=

1 −t 1/ n

, получим:

1 + x

n

t

1 1

m

−1

p−

m

−1

1

m

m

J =

(1 −t) n

t

n

dt =

B

, p −

=

n ∫0

n

n

n

m

m

1

Γ

Γ p −

n

n

=

.

n

Γ( p)

Интеграл сходится при m > 0 ,

p −

m

> 0 , т.е. при 0 < m < np .

n

Пример 4.11. Вычислить J = +∞∫

x p−1 ln x

dx .

0

1 + x

Рассмотрим F ( p) = +∞∫

x p−1

dx – частный случай интеграла, изу-

1 + x

0

ченного в задаче 4.10. Имеем

F ( p) = B( p, 1 − p) = Γ( p) Γ(1 − p) =

x

.

sin πp

J =

dF

=

d

π

= −

π2

cos πp .

dp

dp

sin

2

πp

sin πp

+∞

cosbx

Пример 4.12. Вычислить J =

∫

dx ;

b > 0 , 0 < s <1 .

x

s

0

Положив в интеграле (4.8)

x =

y

, преобразуем его к виду

1 + y

+∞

y

p−1

B( p, q) = ∫

dy ,

(4.9)

(1 + y)

p+q

0

который можно принять за еще одно определение B-функции. Не-

трудно проверить, что

1

=

1

+∞∫ zs−1 e−zx dz .

s

Γ(s)

Поэтому

x

0

J =

1

+∞∫cosbx dx +∞∫ zs−1 e−zx dz .

Γ(s)

0

0

1

+∞

s−1

+∞

−zx

1

+∞

zs dz

J =

∫

z

dz ∫e

cosbx dx =

∫

.

Γ(s)

Γ(s)

z

2

+b

2

0

0

0

1+α

dx

1.

limα→0 ∫

.

1 + x

2

+α

2

α

1

dx

2.

nlim→∞ ∫0

.

x n

1

+ 1 +

n

′

Найти F (α) .

3.

F(α) = cos∫α eα

1−x2 dx .

sin α

4.

F(α) = α+∫1

sin αx

dx .

α−1

x

5.

F(α) =1−∫2α

(1−αx)ex dx .

1

6.

F(α) = ∫α

ln(1 +αx)

dx .

0

x

7.

∫π

ln (1 − 2αcos x +α2 ) dx .

0

8.

π∫/ 2

arctg(αtg x)

dx .

tg x

0

1

1 xb − xa

9. ∫ sin ln

dx

( a > 0, b > 0 ).

0

x

ln x

1

1

xb − xa

10.

∫0

cos ln

dx

( a > 0, b > 0 ).

x

ln x

Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Исследовать функцию F(α) на непрерывность на множестве E.

11.

F(α) = +∞∫e−( x−α)2 dx , E = \ .

0

12.

F(α) = +∞∫

cos αx

dx , E = \ .

2

0

1 + x

13.

F(α) = ∫1

sin x

dx , E =[0;1) .

α

0

x

14.

F(α) = +∞∫

xdx

, E = (2; + ∞) .

2

α

0

+ x

+∞

ln

α

16.

J (α) = ∫

x

dx ,

E =[0;1] .

x

2

1

17.

J (α) = +∞∫

dx

, E =[0; + ∞) .

(x −α)

2

+

1

0

18.

J (α) = +∞∫

e−αx4 dx , E =[α0 ; +∞) , α0

> 0

0

19.

J (α) = +∞∫

sin x

e−αx dx , E =[0; + ∞) .

0

x

+∞

2

20.

J (α) = ∫

sin x

dx ,

E =[0; + ∞) .

α

0

1 + x

Используя интеграл Дирихле

+∞∫

sin αx

dx = πsign α ,

α \,

0

x

2

вычислить следующие интегралы.

+∞

1 −cos αx

21.

∫

dx .

x

2

0

22.

+∞∫

sin x3

dx .

0

x

+∞ x −sin x

23.

∫

dx .

x

3

0

24.

+∞∫

sin5 x

dx .

0

x

25.

+∞∫

cos2 ax −cos2 bx

dx .

0

x

26.

+∞∫

sin2 ax −sin2 bx

dx .

0

x

27.

+∞∫

e−ax2 −e−bx2

dx .

x

0

28.

∫1

xa − xb

dx .

0

ln x

29.

+∞∫

4 x

dx .

(1 + x)

2

0

30.

+∞∫

e−xn dx ( n > 0 ).

0

31.

+∞∫ x p−1e−αx dx

( p > 0, α > 0 ).

0

32.

+∞∫

1

e−α/ 2 x2 dx ( α > 0, n `).

n+1

0

x

33.

+∞∫e−ex e px dx

( p > 0 ).

−∞

2

dx

34.

∫

.

4 (2 − x)(1 + x)

3

−1

35.

∫2

dx

.

5 x

3

2

0

(2 − x)

36.

∫1

x 3 1 − x3 dx .

0

37.

π∫/ 2 sin4 x cos6 x dx .

0

38.

∫1

xα (1 − xβ )γ dx

( α −1, β > 0, γ > −1).

0

39.

∫π

sin p x

dx

( p >1).

0 1 +cos x

1

(1 + x)2α−1 (1 − x)2β−1

40.

∫

dx ( α > 0, β > 0 ).

(1 + x

2

)

α+β

−1

3.

−(eα

sin α

sin α +eα

cos α

cos α)+ cos∫α

1 − x2 eα 1−x2 dx .

sin α

4.

2α +1

sin α(α +1) −

2α −1

sin α(α −1) .

α2 +α

α2 −α

7. 0, если

α

≤1 ; πln α2 , если

α

>1 .

8.

πsign α ln (1+

α

) .

2

9.

b − a

.

arctg

1 + (a +1)(b +1)

10.

1

ln

b2

+ 2b + 2

.

2

a2

+ 2a + 2