1.7. Применение рядов Фурье к интегрированию дифференциальных уравнений

Рассмотрим применение рядов Фурье к интегрированию обык­новенных дифференциальных уравнений на примере краевой задачи об изгибе балки постоянного поперечного решения, различным образом закреплённой на концах.

Дифференциальное уравнение изгиба балки может быть записано в виде

, (1.30)

где y(x) – прогиб балки в произвольном поперечном сечении с абс­циссой x, – изгибная жёсткость балки (E – модуль упру­гости материала,– момент инерции поперечного сечения).

Пусть поперечная нагрузка на разных участках балки задана в виде (см. рис.1.7)

Рассмотрим два варианта граничных условий.

1). Пусть граничные условия имеют вид:

при ,

(1.31)

при .

(а) (б)

Рис.1.7.

Эти граничные условия соответствуют балке, свободно опёртой на левом конце и жестко защемлённой на правом (см. рис.1.7а).

Решение. Раcкладываем функцию q(x) в ряд Фурье по синусам на промежутке [0, l]

, (1.32)

. (1.33)

Подставляем (1.32) в уравнение (1.30)

(1.34)

и интегрируем это уравнение методом понижения порядка. Интегрируя первый раз

,

получим

.

Аналогично находим

,

.

Вновь разделяя переменные и интегрируя последнее уравнение, получим общее решение дифференциального уравнения (1.30) в виде:

. (1.35)

Для определения произвольных постоянных С₁, С₂, С₃ и С₄ подставляем решение (1.35) в граничные условия (1.31). Из первого условия при x = 0 следует

. (1.36)

Из второго условия при x = 0 находим

.

При x = l из третьего и четвертого граничных условий получим систему двух линейных алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных С₁ и С₂

(1.37)

Разрешая систему (1.37) и учитывая то, что , находим

, . (1.38)

Подставляя значения произвольных постоянных в (1.35), получим решение краевой задачи в виде

или после подстановки и элементарных преобразований

.

При x = l/2 прогиб балки будет

.

Ограничиваясь тремя первыми членами ряда, найдём значение прогиба балки в середине пролета

.

2). Пусть балка свободно опёрта на обоих концах (рис.1.7б). Тогда граничные условия запишутся в виде:

при ,

(1.39)

при .

Решение. Для данного варианта граничных условий искомая функция y(x) может быть разложена в ряд Фурье по синусам на промежутке [0, l], равном длине балки:

, (1.40)

так как каждый член ряда (1.40) удовлетворяет всем граничным условиям (1.39).

Подставляя (1.40) в уравнение (1.30), получим

(1.41)

Далее раскладываем в ряд Фурье по синусам на промежутке [0, l], правую часть уравнения (1.41), то есть принимаем

.

При этом коэффициент для заданной нагрузки (см. рис.1.7) будет определяться по формуле (1.33). Подставляя (1.32) в (1.41), получим равенство

,

из которого следует

(1.42)

Из (1.42) с учетом (1.33) неизвестный коэффициент разложения прогиба выразится через известный коэффициент разложения нагрузки по формуле

.

Итак, решение краевой задачи (1.30), (1.39) примет вид

.

В частности, прогиб в середине пролета при x = l/2 и для n = 1 будет равен

.