19. Момент инерции.

5. Момент инерции твердого тела. Радиус инерции.

6. Момент инерции твердого тела относительно параллельных осей. (Теорема Гюйгенса).

7. Момента инерции простейших твердых тел и плоских фигур.

8. Центробежные момента инерции. Понятие о главных осях инерции тела.

19.1. Момент инерции твердого тела. Радиус инерции.

При поступательном движении твердого тела, так же как и при движении материальной точки, мерой его инертности является масса тела. При вращательном движении твердого тела мерой инертности является момент инерции твердого тела относительно данной оси (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела на квадрат их расстояний от этой оси:

(6.2)

Рис. 15

Рассмотрим твердое тело как множество точек массами. Тогда по формуле (6.1.) моменты инерции тела относительно координатных осей будут:

.

Так как координаты точки , то

, ,

(6.2)

Аналогично определяем моменты инерции данного тела относительно координатных плоскостей и полюса О (начала координат):

,,,

Момент инерции твердого тела относительно заданной оси, например оси Zнужно представить в виде

,

где - масса тела;- радиус инерции тела относительно этой оси.

Из этого следует, что радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси Zтой точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

19.2. Момент инерции твердого тела относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса)

Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции тела относительно оси ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

Рис. 16

Для доказательства проведем через центр масс данного тела ось . Пусть расстояние между осямииравно. Тогда по формулам (6.2):,. Так как,, то

. По определению центра масс, в системе координат, имеем. Так как, тои учитывая, что,- масса тела, получим

(6.3)

19.3. Момент инерции простейших твердых тел и плоских фигур

1. Момент инерции однородного тонкого круглого кольца радиуса и массы.

Рис. 17

Так как все точки кольца находятся от оси на одинаковом расстоянии(рис.17), то по формуле (6.1). Так как, то

2. Момент инерции однородного тонкого стержня длины и массы.

Пусть стержень длины имеет постоянное малое сечениеи плотность. Тогда масса стержня.

Разобьем данный стержень на множество элементарных частей длиной (рис. 18). Их масса равна.

Рис. 18

Вычислим момент инерции стержня относительно оси :

Переходя в этом равенстве к пределу, получим определенный интеграл:

Так как - масса стержня, то. Если ось будет проходить через центр масс стержня то по теореме Гюйгенса. Так как у нас будет, то, тогда.

3. Момент инерции однородной круглой пластинки малой толщины радиуса и массы.

Рис. 19

Пусть пластинка имеет весьма малую толщину и плотность. Тогда масса пластинки.

Разобьем пластину на множество элементарных колец радиусом и шириной. Масса кольца. По формулам (6.2) будем иметь,. Так как- весьма малая величина, то пренебрегаябудем иметь,. Момент инерции пластинки относительно оси,. Так как пластинка симметрична относительнои,и, тои.

Так как , то. Переходя к пределу получим определенный интеграл:. Так как- масса пластинки, то.

(6.3)

Тогда .

4. Момент инерции однородной тонной прямоугольной пластинки размерами ,и массы(рис. 20).

Рис. 20

Пусть плотность пластинки . Тогда масса пластинки.

Разобьем пластинку на множество элементарных полосок шириной . Их масса равна.

Найдем момент инерции элементарной полоски относительно оси :. Тогда момент инерции пластинки.

Переходя к пределу получим: . Так как, то.

Аналогично рассуждая, получим .

5. Момент инерции однородного круглого цилиндра радиуса , высотыи массы. Пусть плотность цилиндра. Тогда масса цилиндра. Разобьем цилиндр на множество элементарных пластинок толщиной. Масса пластинки(рис. 21).

Рис. 21

Момент инерции цилиндра относительно оси определим, как сумму моментов инерции элементарных пластинок

По теореме Гюйгенса . Тогда

. Перейдем к пределу. Тогда

. Так как- масса цилиндра, то. Таким образом,. Так цилиндр симметричен относительно осейи, то.

6. Момент инерции полого цилиндра.

Момент инерции полого цилиндра с внешним радиусом и с внутренним радиусом(рис. 22) относительно осиможно определить как разность моментов инерции сплошных цилиндров радиусамии.

Рис. 22

, если плотность сплошных цилиндров, то их масса,

. Тогда. Масса полого цилиндра

Окончательно: .

7. Момент инерции однородного круглого конца. Допустим, что конус имеет высоту , радиус основанияи плотность. Тогда масса конуса.

а) б)

Рис. 23

Для определения разобьем конус на множество элементарных пластинок толщиной(рис. 23, а). Масса пластинки радиуса

.

Так как , то.

Момент инерции элементарной пластинки .

Момент инерции конуса получим, суммируя моменты инерции элементарных пластинок; переходя к пределу суммы, имеем

После подстановки , получим.

8. Момент инерции однородного шара.

Разобьем шар на множество элементарных пластинок толщиной масса пластинки радиусом(рис. 23,б).

.

Момент инерции элементарной пластинки относительно оси определяем по формуле (6.3) с последующей подстановкой:;

.

Момент инерции шара относительно оси , получаем суммируя момент инерции элементарных пластинок, и переходя к пределу суммы:

После подстановки

Так как оси ,,проведены по диаметрам шара, то.