8.7 Определение траектории точки по заданным уравнениям движения точки

Задачи, решаемые методами кинематики точки, могут состоять в определении траектории точки.

Зная закон движения точки в прямоугольной системе координат, можно определить уравнение траектории точки. Для этого нужно из уравнений движения исключить времяt. Так, исключив времяtиз уравнений (3), получим уравнение траектории

(22)

а после исключения времени tиз уравнения (4) уравнение траектории примет вид

(23)

Например, исключив время tиз заданных уравненийи, получим уравнение траектории. В этом случае точка движется по прямой, проходящей через начало координат.

Глава 9. Поступательное и вращательное движение твердого тела

9.1. Поступательное движение.

9.2. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси:

9.2.1. Угловая скорость и угловое ускорение тела.

9.2.2. Скорости и ускорения точек вращающегося тела.

Различают пять видов движения твердого тела:

1) поступательное;

2) вращательное;

3) плоское или плоскопараллельное;

4) движение твердого тела вокруг неподвижной точки (сферическое);

5) общий случай движения твердого тела.

9.1 Поступательное движение

Задачи кинематики твердого тела распадаются на две части:

1) задание движения и определение кинематических характеристик движения тела в целом;

2) определение кинематических характеристик отдельных точек тела.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.

Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть криволинейными.

Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Рисунок 2.1

Для доказательства теоремы выберем две произвольные точки твердого тела Аи В, положение которых в момент времениt определяются радиусами-векторамии(рис. 132,Т); проведем из точкиАв точкуВрадиус-вектор. Тогда

.

(24)

При этом длина АВпостоянна, как расстояние между точками твердого тела , а направлениеостается неизменным, так как тело движется поступательно. Таким образом, векторво все время движения тела остается постоянным (=const). Вследствие этого, как видно из равенства, траектория точкиВполучается из траектории точкиАпараллельным смещением всех ее точек на постоянный вектор. Следовательно, траектории точекА иВбудет действительно одинаковыми (при наложении совпадающими) кривыми.

Для нахождения скоростей точек А иВпродифференцируем обе части равенствапо времени. Получим

, ноа.

В результате находим, что

,

скорости точек А иВгеометрически равны, т.е. в любой момент времени скорости точекА иВодинаковы по модулю и направлению.

Беря от обеих частей полеченного равенства производные по времени, найдем:

или.

Следовательно, ускорении точек А иВтела в любой момент времени тоже одинаковы по модулю и направлению.

Так как точки А иВпроизвольны, то полученные соотношения относятся ко всем точкам.

Установленные свойства поступательного движения позволяют свести изучение поступательного движения твердого тела к изучению движения отдельной точки этого тела, т.е. к задаче кинематики точки, нами уже рассмотренной.

Общие для всех точек твердого тела, движущегося поступательно, скорость и ускорениеназываютскоростью и ускорением поступательного движения твердого тела.

При любом другом движении твердого тела точки тела движутся с различными скоростями и ускорениями.

Точки твердого тела, движущегося поступательно, могут описывать любые траектории, в том числе и прямые.

Примером поступательного движения твердого тела является движение спарника. Все точки спарника описывают окружности радиусом равным длине кривошипа, и имеют геометрически равные скорости и ускорения.