Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

299

Лекция 3.5. Интегрирование тригонометрических функций

Любую тригонометрическую функцию можно свести к функции от sinx

или cosx.

Рассмотрим интеграл вида R(sin x,cos x)dx (3.5.1)

Существует достаточно много подстановок, сводящих его к интегралу от рациональной функции.

Правило 1.

1.Если при замене sinx на –sinx R(sinx,cosx) меняет свой знак на противоположный, то нужно сделать замену z = cosx.

2.Если при замене cosx на –cosx R(sinx, cosx) меняет свой знак, то нужно сделать подстановку z = sinx.

3.Если при замене sinx на –sinx, cosx на –cosx R(sinx,cosx) не меняет своего знака, то нужно сделать замену z = tg x.

4 sin x dx. Ясно, что при замене cosx на –cosx подынтегральное выражение изменит свой знак. Делаем подстановку z = sinx;

300

3.5.1. Универсальная подстановка

Интеграл R(sin x,cos x)dx (3.5.1) подстановкой z tg 2x всегда преобразуется в интеграл от рациональной функции.

Из равенства х = 2arctgx находим dx 2dx2 . По тригонометрическим

1 z

формулам

функция становится рациональной относительно z. В силу своей общности подстановка z tg 2x очень часто является не наилучшей в смысле краткости

и простоты необходимых преобразований. С помощью универсальной подстановки очень удобно вычислять интегралы вида

Интеграл типа (3.5.2) – поэтому подстановка z tg 2x .

301

Универсальную подстановку обычно применяют в тех случаях, когда sinx и cosx входят в рациональную функцию в нечетной степени. Если в выражении функции R только четные степени sinx и cosx, то гораздо быстрее ведет к цели замена tgx = z, содержащая квадратные корни. Последние исчезают при выражении sinx и cosx через z.

рассматривают несколько случаев:

1. Если m = 2r; n = 2k, т.е. обе степени четные и положительные числа (0-четное число), то при вычислении интеграла (3.5.3) применяют метод понижения степени по формулам удвоения углов:

Перепишем его в виде I (sin x cos x)2 cos2 xdx и применим формулы удвоения углов, тогда

I18 sin2 2x(1 cos2x)dx 18 sin2 2xdx 18 sin2 2xcos2xdx.

Впервом интеграле правой части последнего равенства еще раз понизим степень, во втором сделаем замену 2cos2xdx = d(sin2x), в результате получим

J161 (1 cos4x)dx 161 sin2 2x(d(sin 2x))

161 (x 14 sin 4x) 481 sin3 2x C.

2.Если m и n четные, но хотя бы один из показателей отрица-

тельный, применяют подстановку z = tgx.

Пример 6. I cosdx4 x . Здесь m = 0; n = – 4.

3. Когда степени m и n нечетные и положительные, пользуются заменой: z = cosx или z = sinx в зависимости от множителя, степень которого больше.

Пример 7. Найти I cos3 xsin47 xdx. Степень sinx больше, поэтому:

гралов, из которых первый легко берется, а у второго степень становится на две единицы меньше.

Пример 8. Вычислить tg3 xdx. Применяя приведенное правило полу-

Они вычисляются путем замены произведений тригонометрических функций их суммой или разностью по формулам:

1. cos mx cos nx 12 cos(m n)x cos(m n)x

303

2.sin mx cos nx 12 sin(m n)x sin(m n)x

3.sin mx sin nx 12 cos(m n)x cos(m n)x .

В результате интегралы разбиваются на два табличных

Пример 11.

cos2x cos3xdx 12 (cos5x cos x)dx 101 sin5x 12 sin x C.

В обоих случаях интегралы свелись к табличным.

3.5.2. Тригонометрические подстановки

Следующие интегралы:

1.R(x, 2 x2 )dx;

2.R(x, 2 x2 )dx;

3.R(x, x2 2 )dx;

приводят к интегралам от рациональной функции относительно sinz, cosz при помощи следующих тригонометрических подстановок: для первого

В заключении хотелось бы отметить, что в основе всех рассмотренных приемов интегрирования лежала одна цель – свести интеграл к табличному. Если это удавалось, то первообразная находилась до конца, т. е. выража-

лась через известные элементарные функции.

3.5.3. Теорема Коши. Заключительные замечания

До сих пор весьма удачно для некоторых непрерывных функций находились их неопределенные интегралы f (x)dx . Однако, уже при опре-

делении первообразной возникал вопрос: всякая ли непрерывная функция имеет неопределенный интеграл и как его найти, если он существует. На первую часть вопроса дает ответ теорема Коши.

Теорема Коши. Всякая непрерывная функция имеет первообразную.

Другими словами, для каждой непрерывной на числовом промежутке Х функции f(x) существует функция F(x), производная которой на Х в точности равна данной функции f(x), т.е.

F (x) f (x).

Следовательно, справедливо и равенство

f (x)dx F(x) C, если f(x) непрерывна.

Однако теорема Коши не утверждает, что первообразную F(x) любой непрерывной функции можно представить в виде конечного числа комбинаций из основных элементарных функций. Поэтому следует различать существование функции и возможность ее выражения с помощью известных элементарных функций.

Первообразную, которая существует, но не выражается через элементарные функции, называют неберущимся интегралом. Иначе говоря, неберущиеся интегралы от непрерывных функций – это неэлементарные функции.

305

Интегральное исчисление порождает целый класс неэлементарных функций. Вот некоторые из них:

1. e x2 dx Ф(х) (интеграл Пуассона)

2. cos(x2 )dx

(интегралы Френеля) 3. sin(x2 )dx

4.cosx x dx Cix (интегральный косинус)

5.sinx x dx Six (интегральный синус)

6.lndxx l ix (интегральный логарифм)

7.exx dx и многие другие.

Их нельзя представить никакими элементарными функциями. Указанные интегралы не только реально существуют, но и играют большую роль в прикладных задачах. Так интеграл Пуассона (1) или интеграл ошибок используют в статистической физике, в теории теплопроводности и диффузии. Интегралы Френеля (2,3) широко применяют в оптике. В теоретической физике находят применение интегральные косинус и синус (4,5). Ввиду важности для приложений, эти функции хорошо изучены, составлены таблицы их значений.

3.5.4. О технике интегрирования

Сравнительно редко удается дать конкретное правило интегрирования функций, но и тогда когда оно есть, теоретическая схема не всегда является рациональным путем. Интегрирование чаще всего может быть выполнено не единственным способом.

Владение операцией интегрирования заключается в умении произвести ее с минимумом затраченного времени и труда. Приведем несколько приме-

ров. Например, к интегралу I x x2 2 dx нелепо применять подстановку x = αtgz, ибо