Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

379

ЛЕКЦИЯ 3.11. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ В ГЕОМЕТРИИ: ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН ДУГ, ПЛОЩАДЕЙ, ОБЪЕМОВ. ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

3.11.1. Вычисление площадей плоских фигур

Площадь плоских фигур произвольной формы можно находить по разному. Начнем с задач о вычислении площадей с помощью линейного интеграла.

Система декартовых координат. Пусть фигура ограничена линиями, уравнения которых заданы функциями y1 = f1(x) и y2

= f2(x) (Рис. 3.11.1).

Геометрически линейный определенный интеграл от функции y = f(x) (в предположении, что y ≥ 0) равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком y = f(x), отрезком [α,b] оси Oх и прямыми x = α, x = b, т.е.:

b

S f (x)dx.

Исходя из этого, площадь фигур любой формы всегда можно представить как, сумму или разность площадей нескольких криволинейных трапеций. В частности, площадь фигуры, изображенной на рисунке 3.11.1, будет равна:

Sf1(x)dx f2 (x)dx

Где числа α и b являются координатой x для точек пересечения линий

y1 = f1(x) и y2 = f2(x).

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y1 = 6 – x; y2 = x2

Решение. Графики функций y = 6 – x и y = x2 изображены на рисунке 3.11.2. Найдем координату

х для точек пересечения из условия: y1 = y2

6 – x = x2 x2 + x – 6 = 0

Решая квадратное уравнение, получим:

Искомая площадь S равна разности площадей двух криволинейных трапеций, ограниченных сни-

380

зу отрезком [-3,2] оси Oх, а сверху графиками функций y1 = 6 – x, y2 = x2:

Если линия y = f(x) задана параметрическими уравнениями y = y(t); x = x(t),

то площадь криволинейной трапеции находят с помощью линейного интеграла, совершая в нем замену переменной интегрирования по формуле:

где t1 и t2 – значения, между которыми изменяется параметр t. Эти значения определяют из уравнений x(t1) = α, x(t2) = b.

Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную астроидой, уравнение которой задано параметрически: x = αcos3t; y = bsin3t.

Решение. График астроиды симметричен относительно координатных осей Ox и Oy (Рис. 5.11.3). Поэтому искомая площадь равна:

S 4 ydx

0

Найдем пределы изменения параметра t, когда переменная x пробегает значения от 0 до α.

Заменим в линейном интеграле y и dx их выражениями через параметр t из уравнения астроиды. С учетом найденных пределов для t, получим:

Преобразуем, подынтегральное выражение и поменяем местами верхний и нижний пределы:

Система полярных координат. Если линия, ограничивающая плоскую фигуру, задана уравнением в полярной системе координат r = r(φ), то вместо площади криволинейной трапеции берут площадь криволинейного сектора. Криволинейным сектором называют фигуру, ограниченную графиком функции r = r ( φ) и двумя лучами, проведенными из полюса до пересечения с линией r = r ( φ) .

Лучи образуют с полярной осью углы φ1 и φ2 (Рис. 3.11.4). Площадь такого сектора выражают одним линейным интегралом. Покажем это.

Разобьем весь сектор на n-частей лучами, проведенными из полюса. Центральные углы частичных криволинейных секторов будут равны:

1, 2 ,K , n .

Заменим криволинейные частичные сектора круговыми с радиусами:

Найдем площадь i-той части по известной формуле для кругового сек-

тора

Si ri2 i .

2

Площадь всей фигуры приближенно будет равна:

382

Полученная сумма является интегральной для функции r2 ( ). В пределе при max i 0 частичные круговые сектора будут совпадать с криволи-

нейными. В результате точное значение площади всего криволинейного сектора выразится линейным интегралом

Пусть фигура произвольной формы (Рис 3.11.5), ограничена линиями, уравнения которых заданы в полярной системе координат: r1 r1( ) и

r2 r2 ( ) .

Очевидно, что ее площадь можно представить как разность площадей двух криволинейных секторов, ограниченных графиками функций r1( ) и

r2 ( ) :

Если полюс лежит внутри фигуры (Рис. 3.11.5), то полярный угол φ будет изменяться от 0 до 2π.

Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную кардиоидой r = α(1 + cosφ)

Решение. График кардиоиды симметричен относительно полярной оси. Поэтому можно найти половину площади, заключенной внутри кардиоиды, а затем удвоить ее. Тогда полярный угол φ будет изменяться от 0 до π. Воспользуемся формулой для площади криволинейного сектора:

Преобразуем подынтегральное выражение и найдем первообразную

383

Подставляя верхний и нижний пределы, окончательно получим:

го типа обладает следующим свойством: он равен размерам области интегрирования (Ω), если во всех точках P ( ) подынтегральная функция равна

единицы f (P) 1.

Следовательно, если в двойном интеграле f (x, y)ds по плоской об-

D

ласти D положить f(x,y) ≡ 1, то он будет равен размерам D, т.е. ее площади:

S ds dxdy

D D

Пример 4. Найти площадь, ограниченную линиями: х = 2; y = x; y 1x .

Решение. Плоская фигура, площадь которой нужно найти, изображена на рисунке 3.11.6. Искомая площадь равна двойному интегралу:

S dxdy

D

Найдем координату x точки пересечения

линий y = x и y 1x ; x 1x ; x 1.

Переменная х внутри области D изменяется от 1 до 2, а переменная y от своих значений на

линии y 1x до значений на линии y = x. Переходя к последовательному вычислению двух линейных интегралов, получим:

384

3.11.2. Вычисление длин линий

Длину плоских кривых, заключенных между двумя точками А и В, можно найти с помощью криволинейного интеграла f (x, y)dl , если поло-

LAB

жить f(x,y) ≡ 1. В этом случае криволинейный интеграл, также как и двойной, будет равен размерам области интегрирования, т.е. длине части линии LAB.

l dl

LAB

Меру элементарной части (дифференциал длины) - dℓ выражают через уравнение данной линии LAB и переходят к линейному интегралу. Если кри-

вая LAB задана в декартовой системе координат непрерывной и дифференцируемой функцией y = y(x), то вычисление ее длины сводят к вычислению линейного интеграла вида:

LAB

Пределы в линейном интеграле α и b – являются проекциями на ось Oх точек линии А и В соответственно.

Длину дуги АВ кривой, заданной параметрическими уравнениями x = x(t); y = y(t), находят по формуле

LAB t1

где t1 и t2 значения параметра t в точках А и В.

И наконец, длина линии LAB, уравнение которой r = r(φ) задано в полярной системе координат, равна линейному интегралу

LAB 1

где φ1 и φ2 полярные углы точек А и В.

Пример 5. Найти длину полукубической параболы y2 = x3 от точки

А(0,0) до точки В(4;8).

Решение. Длина отрезка полукубической параболы между точками А и В равна криволинейному интегралу

l dl

LAB

Дифференциал длины кривой в декартовой системе координат вы-

ражают через ее уравнение y = y(x) по формуле dl 1 yx2 dx

Решение.

Длину астроиды также найдем с помощью криволинейного интеграла

dl 32 2 cos4 t sin2 t 32 2 sin4 t cos2 tdt 3 sin t costdt

Подставляя найденное выражение для dℓ в криволинейный интеграл и переходя к линейному, получим:

3.11.3.Вычисление объемов тел

Объем тел, в зависимости от их формы и условий задачи, можно находить различными способами.В частом случае, когда известна площадь поперечных сечений тела, его объем вычисляют с помощью линейного интеграла по формуле:

b

V S(x)dx

где S(x) – площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, α и b

– проекции его крайних точек на ту же ось.

386

Исходя из этой формулы, находят объем тел вращения.

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная сверху графиком непрерывной функции y = y(x) и прямыми x = α,

x= b, вращается вокруг оси Oх (Рис. 3.11.7).

Врезультате ее вращения образуется тело. Его плоскими сечениями, перпендикулярными оси Oх, являются круги с различ-

Следовательно, объем полученного тела можно найти по формуле

b b

Vx S(x) y2 (x)dx

При вращении линии, ограничивающей криволинейную трапецию, вокруг оси Oy (Рис. 3.11.8) объем полученного тела равен:

где x(y) – уравнение вращающейся линии решенное относительно переменной x.

Пример 7. Найти объем тела, полученного при вращении эллипса относительно осей Ox и Oy.

изображен на рисунке 3.11.9.

Координаты его крайних точек по оси Oх:

x1 = –α, x2 = α, по оси Oy: y1 = –b, y2 = b.

Объем тела, образованного вращением эллипса относительно оси Oх, найдем по формуле:

387

Аналогично, вычислим объем Vy

Если α = b, то тела вращения относительно осей Oх и Oy становятся шаром, объем которого равен 43 a3 .

Рассмотрим теперь общий случай вычисления объемов тел с помощью кратныx интегралов.

Пусть тело произвольной формы ограничено двумя поверхностями, уравнения

которых известны: z1 z(x, y), z2 z(x, y). Проекцией данного тела на плоскость xOy

является область D (Рис. 3.11.10). Двойной

интеграл по области D геометрически равен объему цилиндра, построенного на этой области и ограниченного сверху графиком подынтегральной функции. Поэтому объем

тела, изображенного на рисунке 3.11.10, можно представить как разность объемов двух цилиндрических тел, или как разность двух двойных интегралов:

V z2 (x, y)ds z1(x, y)ds

D D

В самом общем случае объем тел произвольной формы находят с помощью тройного интеграла, в котором подынтегральная функция равна единице

V dv

W

Легко заметить, что предыдущая формула является следствием последней, в самом деле:

После подстановки пределов для переменной z мы приходим к такому же двойному интегралу.

3.11.4 Статические моменты и центры тяжести

Рассмотрим систему материальных точек на плоскости (рис. 3.11а.1). Произведение массы точки на ее расстояние до какой-нибудь оси называют статическим моментом точки относительно этой оси, обозначают:

M x mi yi

M y mi xi

Статический момент системы материальных точек равен сумме статических моментов точек,

входящих в эту систему