2. Алгоритм Прима
2.1 Краткое описание алгоритма
Алгоритм Прима (ближайшего соседа) отличается от алгоритма Краскала тем, что на каждом этапе не требует ни сортировки, ни проверки на цикличность.
Алгоритм Прима:
Построение остовного дерева T начинается с произвольной вершины
.Среди ребер, инцидентных вершине
,
выбирается ребро
наименьшего веса и включается в деревоT.Повторяя процесс, выполняется поиск наименьшего по весу ребра, соединяющего вершины
иu
с некоторой другой вершиной графа.Процесс включения ребер продолжается до тех пор, пока все вершины исходного графа G не будут включены в дерево T. Построенное дерево будет минимальным остовным деревом.
Алгоритм Прима следует общей схеме алгоритма построения минимального остовного дерева: на каждом шаге мы добавляем к строящемуся остову безопасное ребро. Алгоритм Прима относится к группе алгоритмов наращивания минимального остова: на каждом шаге существует не более одной нетривиальной (не состоящей из одной вершины) компоненты связности, и каждый к ней добавляется ребро наименьшего веса, соединяющее вершины компоненты с остальными вершинами. По теореме такое ребро является безопасным.
Неформальное описание алгоритма:
Выбрать корневую вершину V;
Пометить V как посещенную;
Для каждой смежной с V вершины установить затраты кратчайшего ребра;
Выбрать не посещённую вершину с наименьшим весом ребра в качестве текущей вершины;
V и добавить связывающее ребро в остовное дерево;
Повторить все шаги со второго, пока не будут посещены все вершины.
На рисунке 1 представлена блок-схема алгоритма Прима.
Рисунок
1 – Блок – схема алгоритма Прима
2.2Разработка псевдокода
Алгоритм Прима.
На рисунке 2 представлен псевдокод алгоритма Прима. На входе матрица смежности cost[i][j] размеромn/n.
Рисунок 2 – Псевдокод реализации алгоритма Прима через матрицу смежностей
На выходе мы имеем минимальное остовное дерево Nи суммарный вес каркасаmincost.
Алгоритм
Крускала. На рисунке 3 представлен
псевдокод алгоритма Крускала. На входе
матрица смежности cost[i][j]
размеромn/n.
Рисунок 3 – Псевдокод реализации алгоритма Крускала через матрицу смежностей
На выходе мы имеем минимальное остовное дерево.
2.3 Визуализация алгоритма
Проиллюстрируем алгоритм Прима графе. На рисунке 1 представлен исходный звешенный связный неориентированный граф. Выберем вершину A в качестве начальной. Среди ребер, инцидентных вершине A, выбираем ребро A,D наименьшего веса и включаем его в остовное дерево T. Вершина D инцидентна ребрам (D,B), (D,E), (D,F). В остов включаем ребро (D,F). Ребро (A,B), имеет меньший вес чем ребро (F,E), с силу данного обстоятельства, нам необходимо вернуться в вершину A и включить в дерево ребро (A,B).Далее проходим по незадействованным вершинам и включаем в остов ребра (B,E), (E,C), (E,G). В результате мы получаем минимальное остовное дерево – рисунок 5.
Рисунок
4 – Исходный взвешенный
связный неориентированный граф.
Рисунок 5 – Минимально остовное дерево исходного графа.