§7.2. Табличное интегрирование

Рассмотрим простейшие интегралы, которые можно найти только с помощью таблицы интегралов и свойств неопределенного интеграла.

Пример 7.1. Найти интеграл .

Решение. Умножим и разделим числитель на 4, а затем прибавим и вычтем в числителе x²:

(здесь мы применили 1-е и 2-е свойства неопределенного интеграла и табличные формулы 1 и 10).

Пример 7.2. Найти интеграл .

Решение.

(см. формулы 7 и 1).

§7.3. Подведение множителя под знак дифференциала

Данный метод основан на свойстве дифференциала функции . Тогда интегралы вида можно преобразовать следующим образом:

,

где – первообразная функции .

Пример 7.3. Найти неопределенный интеграл

Решение. Умножим и разделим подынтегральную функцию на 4 и внесем множитель 4x³ под знак дифференциала:

Для того чтобы под знаком дифференциала получить линейную функцию, достаточно воспользоваться очевидным равенством:

или .

Постоянный множитель можно при этом вынести за знак интеграла.

Пример 7.4. Найти неопределенный интеграл

Решение. Умножим и разделим подынтегральную функцию на –8 и внесем множитель –8 под знак дифференциала:

.

Познакомимся с двумя основными методами нахождения неопределенных интегралов – заменой переменной и интегрированием по частям.

§7.4. Замена переменной под знаком неопределенного интеграла

1. Упрощающие постановки. Выбирая в структуре подынтегральной функции некоторое выражение, и назначая его новой переменной интегрирования, иногда удается существенно упростить интеграл (а иногда даже свести его к табличному).

Пример 7.5. Найти неопределенный интеграл

Решение. Произведем замену переменной . Тогда

.

Дальнейшие упрощения, связанные с раскрытием скобок и приведением подобных членов, предоставляем читателям.

Пример 7.6. Найти интеграл .

Решение. Произведем замену . При этом , :

.

2. Тригонометрические подстановки. В интегралах вида , где через обозначена рациональная функция, от квадратного корня можно избавиться с помощью замены соответственно.

Пример 7.7. Найти интеграл .

Решение. В данном случае а² = 4 (а = 2) и, следовательно, мы производим замену :

.

§7.5. Метод интегрирования по частям

 Докажем формулу интегрирования по частям:

(7.6)

Воспользуемся формулой производной произведения двух функций (Часть1, гл.5):

. (7.7)

Проинтегрируем обе части равенства (7.7):

, (7.8)

. (7.9)

Из равенств (7.8) и (7.9), следует, что . Перенося первый из интегралов в правую часть, мы получим нужную нам формулу . Константу С при этом можно опустить, так как в обеих частях полученного равенства находятся интегралы. 

Пример 7.8. Найти интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой (7.6) интегрирования по частям. Для этого обозначим x через u, а e^2xdx через dv:

Пример 7.9. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Обозначим lnx через u, а xdx через dv, и воспользуемся формулой (7.6):

.