12. Реляционные алгебры.

Реляционная алгебра — формальная система манипулирования отношениями в реляционной модели данных. Существует в двух несколько различающихся вариантах:

• алгебра Кодда (Э. Кодд, 1970)

• алгебра A (К. Дейт, Х. Дарвен)

Наряду с реляционным исчислением является способом получения результирующего отношения в реляционной модели данных.

Реляционная алгебра представляет собой набор операторов, использующих отношения в качестве аргументов и возвращающих отношения в качестве результата. Таким образом, реляционный оператор f выглядит как функция с отношениями в качестве аргументов:

R = f(R₁, R₂, …, R_n)

Реляционная алгебра является замкнутой, так как в качестве аргументов в реляционные операторы можно подставлять другие реляционные операторы, подходящие по типу:

R = f(f1(R₁₁, R₁₂, …), f2(R₂₁, R₂₂,…),…)

В реляционных выражениях можно использовать вложенные выражения сколь угодно сложной структуры.

Каждое отношение обязано иметь уникальное имя в пределах базы данных. Имя отношения, полученного в результате выполнения реляционной операции, определяется в левой части равенства. Однако можно не требовать наличия имён от отношений, полученных в результате реляционных выражений, если эти отношения подставляются в качестве аргументов в другие реляционные выражения. Такие отношения называют неименованными отношениями. Неименованные отношения реально не существуют в базе данных, а только вычисляются в момент вычисления значения реляционного оператора.

Традиционно, по алгебре Кодда, определяют восемь реляционных операторов, объединенных в две группы.

Теоретико-множественные операторы:

• Объединение

• Пересечение

• Вычитание

• Декартово произведение

Специальные реляционные операторы:

• Выборка

• Проекция

• Соединение

• Деление

Не все они являются независимыми, т.е. некоторые из этих операторов могут быть выражены через другие реляционные операторы.

Будем называть отношения совместимыми по типу, если они имеют идентичные заголовки, а именно:

• Отношения имеют одно и то же множество имен атрибутов, т.е. для любого атрибута в одном отношении найдется атрибут с таким же наименованием в другом отношении,

• Атрибуты с одинаковыми именами определены на одних и тех же доменах.

Теоретико-множественные операторы

Объединение

Объединением двух совместимых по типу отношений А и В называется отношение с тем же заголовком, что и у отношений А и В , и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих или А, или В, или обоим отношениям. Объединение, как и любое отношение, не может содержать одинаковых кортежей. Поэтому, если некоторый кортеж входит и в отношение А, и отношение В, то в объединение он входит один раз.

Пример:

Пусть даны два отношения и с информацией о сотрудниках:

Табельный номер	Фамилия	Зарплата
1	Иванов	1000
2	Петров	2000
3	Сидоров	3000

Табельный номер	Фамилия	Зарплата
1	Иванов	1000
2	Пушников	2500
4	Сидоров	3000

Объединение отношений будет иметь вид:

Табельный номер	Фамилия	Зарплата
1	Иванов	1000
2	Петров	2000
3	Сидоров	3000
2	Пушников	2500
4	Сидоров	3000

Пересечение

Пересечением двух совместимых по типу отношений А и В называется отношение с тем же заголовком, что и у отношений А и В, и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих одновременно обоим отношениям А и В.

Пример:

Для тех же отношений А и В, что и в предыдущем примере пересечение имеет вид:

Табельный номер	Фамилия	Зарплата
1	Иванов	1000

Вычитание

Вычитанием двух совместимых по типу отношений А и В называется отношение с тем же заголовком, что и у отношений А и В, и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих отношению А и не принадлежащих отношению В.

Пример:

Для тех же отношений А и В, что и в предыдущем примере пересечение имеет вид:

Табельный номер	Фамилия	Зарплата
2	Петров	2000
3	Сидоров	3000

Декартово произведение

Декартовым произведением двух отношений А(А₁, А₂,…, А_n) и В(В₁, В₂, … , В_m ) называется отношение, заголовок которого является сцеплением заголовков отношений А и В : (А₁, А₂,…, А_n , В₁, В₂, … , В_m ), а тело состоит из кортежей, являющихся сцеплением кортежей отношений А и В: (а₁, а₂,…, а_n , b₁, b₂, … , b_m ), таких, что (а₁, а₂,…, а_n) A, (b₁, b₂, … , b_m ) B.

Пример:

Пусть даны два отношения А и В с информацией о поставщиках и деталях:

Номер поставщика	Наименование поставщика
1	Иванов
2	Петров
3	Сидоров

Номер детали	Наименование детали
1	Болт
2	Гайка
3	Винт

Декартово произведение отношений будет иметь вид:

Номер поставщика	Наименование поставщика	Номер детали	Наименование детали
1	Иванов	1	Болт
1	Иванов	2	Гайка
1	Иванов	3	Винт
2	Петров	1	Болт
2	Петров	2	Гайка
2	Петров	3	Винт
3	Сидоров	1	Болт
3	Сидоров	2	Гайка
3	Сидоров	3	Винт

Специальные реляционные операторы

Выборка (ограничение, селекция)

Выборкой (ограничением, селекцией) на отношении А с условием С называется отношение с тем же заголовком, что и у отношения А, и телом, состоящем из кортежей, значения атрибутов которых при подстановке в условие С дают значение ИСТИНА. С представляет собой логическое выражение, в которое могут входить атрибуты отношения А и (или) скалярные выражения.

В простейшем случае условие С имеет вид XΘY, где Θ - один из операторов сравнения (<,>,=, ≠,≤,≥, и т.д.), а X и Y - атрибуты отношения А или скалярные значения. Такие выборки называются Θ-выборки (тэта-выборки) или Θ-ограничения, Θ-селекции.

Пример:

Пусть дано отношение с информацией о сотрудниках:

Табельный номер	Фамилия	Зарплата
1	Иванов	1000
2	Петров	2000
3	Сидоров	3000

Результат выборки с условием С – зарплата < 3000 будет иметь вид:

Табельный номер	Фамилия	Зарплата
1	Иванов	1000
2	Петров	2000

Проекция

Проекцией отношения А по атрибутам X,Y,…,Z , где каждый из атрибутов принадлежит отношению A, называется отношение с заголовком (X,Y,…,Z) и телом, содержащим множество кортежей вида (x,y,…,z) таких, для которых в отношении A найдутся кортежи со значением атрибута X равным x, значением атрибута Y равным y, …, значением атрибута Z равным z.

Операция проекции дает "вертикальный срез" отношения, в котором удалены все возникшие при таком срезе дубликаты кортежей.

Пример:

Пусть дано отношение с информацией о поставщиках, включающих наименование и месторасположение:

Номер поставщика	Наименование поставщика	Город поставщика
1	Иванов	Уфа
2	Петров	Москва
3	Сидоров	Москва
4	Сидоров	Челябинск

Проекция по атрибуту [город поставщика] будет иметь вид:

Город поставщика

Уфа

Москва

Челябинск

Соединение

Соединением отношений А и В по условию С называется отношение, в котором С представляет собой логическое выражение, в которое могут входить атрибуты отношений А и В и (или) скалярные выражения.

Таким образом, операция соединения есть результат последовательного применения операций декартового произведения и выборки. Если в отношениях и имеются атрибуты с одинаковыми наименованиями, то перед выполнением соединения такие атрибуты необходимо переименовать.

Пример:

Рассмотрим некоторую компанию, в которой хранятся данные о поставщиках и поставляемых деталях. Пусть поставщикам и деталям присвоен некий статус. Пусть бизнес компании организован таким образом, что поставщики имеют право поставлять только те детали, статус которых не выше статуса поставщика (смысл этого может быть в том, что хороший поставщик с высоким статусом может поставлять больше разновидностей деталей, а плохой поставщик с низким статусом может поставлять только ограниченный список деталей, важность которых (статус детали) не очень высока).

Номер поставщика	Наименование поставщика	X (Статус поставщика)
1	Иванов	4
2	Петров	1
3	Сидоров	2

Номер детали	Наименование детали	Y (Статус детали)
1	Болт	3
2	Гайка	2
3	Винт	1

Ответ на вопрос "какие поставщики имеют право поставлять какие детали?" дает соединение:

Номер поставщика	Наименование поставщика	X(Статус поставщика)	Номер детали	Наименование детали	Y(Статус детали)
1	Иванов	4	1	Болт	3
1	Иванов	4	2	Гайка	2
1	Иванов	4	3	Винт	1
2	Петров	1	3	Винт	1
3	Сидоров	2	2	Гайка	2
3	Сидоров	2	3	Винт	1

Деление

Пусть даны отношения А(X₁, X₂,…, X_n, Y₁, Y₂,…, Y_m) и B(Y₁, Y₂,…, Y_m), причем атрибуты Y₁, Y₂,…, Y_m - общие для двух отношений. Делением отношений A на B называется отношение с заголовком (X₁, X₂,…, X_n) и телом, содержащим множество кортежей (x₁, x₂,…, x_n) , таких, что для всех кортежей (y₁, y₂,…, y_m) B в отношении A найдется кортеж (x₁, x₂,…, x_n, y₁, y₂,…, y_m).

Отношение A выступает в роли делимого, отношение B выступает в роли делителя. Деление отношений аналогично делению чисел с остатком.

Типичные запросы, реализуемые с помощью операции деления, обычно в своей формулировке имеют слово "все" - "какие поставщики поставляют все детали?".

Пример:

В примере с поставщиками, деталями и поставками ответим на вопрос, "какие поставщики поставляют все детали?".

В качестве делимого возьмем таблицу, содержащую номера поставщиков и номера поставляемых ими деталей:

Номер поставщика PNUM	Номер детали DNUM
1	1
1	2
1	3
2	1
2	2
3	1

В качестве делителя возьмем таблицу, содержащую список номеров всех деталей (не обязательно поставляемых кем-либо):

Номер детали DNUM

1

2

3

Деление дает список номеров поставщиков, поставляющих все детали:

Номер поставщика PNUM

1

Оказалось, что только поставщик с номером 1 поставляет все детали.