32. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости числового ряда. Свойства числовых рядов.

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида =u₁+u₂+…+u_n+…, где u₁,u₂,…u_n,... — действительные или комплексные числа, называемые -членами ряда, u_n — общим членом ряда. Ряд считается заданным, если известен общий член ряда u_n выраженный как функция его номера n: u_n=f(n).

Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной сум- мой ряда и обозначается через S_n т. е. S_n=u₁+u₂+…+u_n+…

Если существует конечный предел S = последовательности ча- стичных сумм ряда, то этот предел называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится. Записывают: S=Если не существует или =∞, то ряд называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Необходимый признак сходимости (теорема): если ряд =u₁+u₂+…+u_n+… сходится, то его общий член u_n стремится к нулю, т.е. . Пусть ряд =u₁+u₂+…+u_n+…сходится и . Тогда и (при n→∞ и (n-1)→∞). Учитывая, что u_n=S_n-S_n-1 при n>1, получаем: ==-S=0.

Достаточное условие расходимости ряда (следствие): если ≠0 или этот предел не существует, то ряд расходится. Если ряд сходился, то (по теореме) . Но это противоречит условию. Значит, ряд расходился.

Свойство: 1. Если ряд =u₁+u₂+…+u_n+… сходится и его сумма равна S, то ряд =сu₁+сu₂+…+сu_n+…, где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна сS. Если же ряд =u₁+u₂+…+u_n+… расходится и с≠0, то и ряд =сu₁+сu₂+…+сu_n+… расходится. 2. Если сходится ряд =u₁+u₂+…+u_n+… и сходится ряд а их суммы равны S₁ и S₂ соответственно, то и сходятся ряды , причем сумма каждого ряда равна соответственно S₁S₂. Из 2 свойства→сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд. Сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом. 3. Если к ряду =u₁+u₂+…+u_n+… прибавить (или отбросить) конечное число членов, то получится ряд и ряд =u₁+u₂+…+u_n+… сходится или расходится одновременно. Из 3 свойства→если ряд =u₁+u₂+…+u_n+… сходится, то его остаток r_n=S-S_n=u_n+1+u_n+2+…стремится к нулю при n→∞, т.е. =0.

33. Признаки сравнения для положительных числовых рядов.

Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.

Теорема 1: пусть даны два знакоположительных ряда и . Если для всех n выполняется неравенство u_n≤v_n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , из расходимости следует расходимость ряда .

Доказательство 1: обозначим n-е частичные суммы рядов и соответственно через S^(u)_n и S^(v)_n. Из неравенства u_n≤v_n следует, что S^(u)_n ≤ S^(v)_n. Пусть ряд и сходится и его сумма равна S₂. Тогда= S₂.Члены ряда положительны, поэтому S^(v)_n< S₂ и, следовательно, с учетом неравенства S^(u)_n ≤ S^(v)_n, S^(u)_n ≤ S₂. Таким образом, последовательность S^(u)₁, S^(u)₂, S^(u)_n,… монотонно возрастает (u_n>0) и ограниченно сверху числом S₂. По признаку существования предела последовательность {S^(u)_n}имеет придел =S₁, т.е. ряд сходится. Пусть теперь ряд расходится. Так как члены ряда неотрицательны, в этом случае имеем =∞. Тогда, с учетом неравенства S^(u)_n ≤ S^(v)_n, получаем =∞, т.е. ряд расходится.

Теорема 2 (предельный признак сравнения): пусть даны два знакоположительных ряда и . Если существует конечный, отличный от 0, предел =A (0<A<∞), то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство 2: по определению предела последовательности для все n, кроме, возможно, конечного числа их, для любого ε>0 выполняется неравенство |u_n/v_n-A|<ε, или (А-ε)v_n<u_n<(A+ε)v_n. Если ряд сходится, то из левого неравенства (А-ε)v_n<u_n<(A+ε)v_n и теоремы 1 вытекает, что ряд также сходится. Но тогда, согласно свойству 1 числовых рядов, ряд сходится. Если ряд расходится, то из правого неравенства (А-ε)v_n<u_n<(A+ε)v_n, теоремы 1, свойства 1, вытекает, что и ряд расходится. Аналогично, если ряд сходится (расходится), то сходящимся (расходящимся) будет и ряд .