2.1. Понятие о точечных оценках и их свойствах
Пусть имеется некоторая СВ Х, закон
распределения которой зависит от
неизвестного параметра а. Требуется
по результатам n независимых
наблюдений СВ Х найти приближённое
значение
этого параметра. Искомое значение
называется точечной оценкой параметра
a и является случайной величиной,
поскольку зависит от СВ
,
соответствующих n независимым
измерениям СВ Х.
Точечная оценка
параметра а называется состоятельной,
если при неограниченном увеличении
числа измерений n она сходится по
вероятности к точному значению параметра
а, т.е.
.
Оценка
называется несмещённой, если
,
т.е. среднее значение оценки совпадает
с точным значением параметра. Несмещённая
оценка
называется эффективной, если среди
всевозможных несмещённых оценок
параметра а она имеет наименьшую
дисперсию.
Если свойство несмещённости (эфф-и)
выполняется только в пределе при
,
то оценка называется асимптотически
несмещённой (эфф-й).
2.2. Точечные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения
Пусть Х СВ с
и
которые неизвестны. Результаты n
независимых измерений СВ Х есть
независимые случайные величины
,
при этом
,
,
.
За точечную оценку математического
ожидания примем
.
,
.
В качестве несмещённой оценки используется
(состоятельные
и асимптотически эффективными).
3.1. Понятие о доверительных интервалах
Доверительный интервал - случайный
интервал, который с заданной вероятностью
, близкой к единице,
содержит в себе неизвестный параметр
распределения рассматриваемой СВ Х.
.
4.1. Основные определения и общая схема проверки гипотез
Под статистической гипотезой понимается любое предположение о законах или параметрах распределения одной или нескольких СВ.
Ошибка первого рода – это отклонение гипотезы, которая в действительности является верной.
Ошибка второго рода – это принятие гипотезы, которая в действительности не является верной. Вероятности этих ошибок обозначаются, соответственно, и .
Уровень значимости ‑ вероятность
ошибки первого рода (
).
,
но
Статистика критерия ‑ мера расхождения статистических (полученных на основании выборок измерений) и теоретических (предполагаемых) характеристик распределения СВ, относительно которых выдвинута гипотеза.
Допустимая (критическая) область
статистики критерия ‑ множество
возможных значений, при которых гипотеза
принимается (отклоняется). Критическая
область определяется неравенствами
или
и
,
где
– значения статистики, которые при
заданном уровне значимости
определяются согласно одному из условий
или
.
Общая схема проверки статистической гипотезы:
1) задаётся и формируются выборки измерений СВ.
2) по данным выборок вычисляется значение статистики К.
3) по из таблиц распределения статистики К определяются допустимая и критическая области.
4) если вычисленное значение статистики критерия принадлежит допустимой области, то гипотеза принимается, иначе– отклоняется.