8. Анализ методов имитации случайных величин с заданным законом распределения (одномерный и многомерный случаи)

Имитация СВ с заданным законом распределения. Общая схема:

2. Имитация редких событий

Имитация случайных величин, подчиненных закону распределения Пуассона.

Дискретная случайная величина х, принимающая целочисленные значения, распределена по закону Пуассона, если:

---- > закон редких событий

𝜆 – параметр распределения

Если M[ ] = D[ ] = λ в заданном интервале с заданной точностью, то можно говорить, что это закон Пуассона. Распределение Пуассона является предельным для биномиального, когда (n→∞) и (p→∞) так, что np = 𝜆 = const

Основное утверждение, на котором базируется имитация редких событий, гласит следующее: Если длина интервала между последовательными событиями имеет экспоненциальное распределение, то количество событий до величины

подчинено распределению Пуассона.

1) P₀ (t) – вероятность того, что на интервале [0, t] не произойдет ни одного события. λdt – вероятность того, что некоторое событие произойдет на интервале [t, t+dt] P₀ (t+dt) - вероятность того, что на интервале [t, t+dt] не произойдет ни одного события

P₀ (t+dt)= P₀ (t)(1- λdt )

2)

T – случайная величина, равная длине временного интервала между последовательными событиями.

Таким образом, для генерирования случайных величин, подчиненных з-ну Пуассона, сначала генерируются экспоненциально распределенные моменты {t_ij} наступления событий с м.о. I, которые потом суммируются до тех пор, пока итог не превысит

величину 𝜆.Как показал опыт, для большего быстродействия, можно применять следующее модифицированное выражение (λ=1 из экспоненциального закона)

12. Оценка количества реализаций, необходимых для достижения требуемой точности в методе статистических испытаний

ε - погрешность , А – коэффициент, связанный с дисперсией

- оценка, а – оцениваемый параметр α – достоверность, вероятность.

- неравенство Чебышева (устанавливает верхнюю границу вероятности)

D[ ] – дисперсия оценки а

устанавливает нижнюю границу вероятности

Пусть ξ случайная величина с математическим ожиданием : Дисперсия оценки :

Обозначим

При реализации метода Монте-Карло общее число реализаций велико, поэтому среднее арифметическое как СВ, подчиняется нормальному закону распределения с м.о. М[]=a и дисперсией D[]=σ²/N. В этом случае формула для погрешности принимает вид: , где - находится из таблицы нормального распределения.

Для уменьшения ε возможны два варианта: * уменьшить дисперсию(

); *увеличить число реализаций ( N )

5. Метод монте – карло и имитационное моделирование

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - методология исследования и моделирования сложных систем – глобальное моделирование. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - это метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику.

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО – метод решения математических задач с помощью моделирования случайных величин. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО - это численный метод, моделирующий на ЭВМ псевдослучайные числовые последовательности с заданными вероятностными характеристиками.

О

К ИМИТАЦИОННОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ ПРИБЕГАЮТ, когда:

• дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте;

• невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные;

• необходимо сымитировать поведение системы во времени.

Имитационное моделирование, сохраняя основные приемы статистического моделирования, представляет собой современную технологию исследования сложных систем, использующую языковые и программные средства.

СОБЕННОСТИ МЕТОДА МОНТЕ –КАРЛО:

1. Универсальность

2. Простота реализации

3. Погрешность:

e - погрешность В – константа, зависящая от дисперсии оценки N – число реализаций (испытаний)

«-» медленная сходимость (сходимость

по вероятности)

ОТЛИЧИЯ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ОТ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО.

1)В методе Монте-Карло наблюдения являются независимыми, а в имитационном моделировании процесс протекает во времени и между наблюдениями имеется сериальная корреляция. Сериальная корреляция - r_k – с запаздыванием или шагом k есть корреляция между отстоящими друг от друга на k-единиц членами ряда. В результате получаем r0(=1),r1,r2,…,ri

2)В задачах Монте-Карло отклик можно выразить как случайную функцию от случайных входных факторов, в имитационном моделировании в качестве такой функции может служить только алгоритм или вычислительная программа.

ОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО.

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.

Практически же поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое и принимают x в качестве оценки (приближённого значения) a^* искомого числа a:

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину Х, как найти её возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а^*.

ЭТАПЫ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1. Формулировка проблемы. обоснование применения имитационного моделирования, определение целей.

2. Выявление существенных элементов системы, анализ взаимодействия элементов и внешних воздействий.

3. Формулировка математической модели.

4. Разработка алгоритмов и программирование имитационных моделей.

5. Оценка адекватности модели.

Имитационное моделирование имеет особые трудности при решении проблемы адекватности модели, т.к. велик информационный фонд и сама модель – это совокупность большого количества моделей.

*методы внешней оценки (эксперт оценивает входы, выходы, структуру, примерные результаты);

*трассировка (анализируется логика моделирования);

*внутренняя оценка (статистические критерии, типа критерия Фишера);

*исторические подходы.

6. Планирование эксперимента

При планировании эксперимента предполагается решение следующих проблем:

*определение объема выборки;

*большое число факторов;

*многокомпонентная функция реализации.

7. Реализация машинных экспериментов в соответствии с выбранным планом.

Особая роль отводится подготовке информации к диалоговой системе.

8. Обработка результатов экспериментов машинного и имитационного моделирования.

Большая роль отводится методам понижения дисперсии.

СТРУКТУРА ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ. 1)Объект – сложная система 2) Действие случайных факторов 3) Необходимость расчета на ЭВМ x - Имитация случайных величин с заданным законом распределения F(x)- Алгоритм функционирования системы (вероятностная трактовка) y - Обработка результатов испытаний методами математической статистики