16. Формула Тейлора.

Теорема 1 (локальна формула Тейлора).

Нехай функція і

– локальна формула Тейлора. (1)

де - залишковий член у формі Пеана.

Розглянемо дві функції:

;

, ;

,

,

формула (1).

У випадку х₀=0 формула Тейлора називається формулою Маклорена:

(2).

Теорема 2 (формула Тейлора).

Якщо fCⁿ[a,b] і  f⁽ⁿ⁺¹⁾, x(a,b),то для двох довільних точок х та х₀ з [a,b] має місце формула (5), яка називається формулою Тейлора із залишковим членом (6) у формі Шльоміха-Рома.

(5),

де (6).

Розглянемо функцію [a,b]R; fCⁿ[a,b] і  f⁽ⁿ⁺¹⁾, x(a,b) і , де t[a,b], а х – деяка стала з [a,b], параметр р – довільний, додатній,  – деяка стала.

h(x)=0, x₀[a,b] і знайдемо h(x₀): .

Виберемо  таке, щоб h(x₀)=0.

Знайдемо похідну:

.

 . Тоді вірні формули (5) та (6).

Підставляючи різні значення р, можна отримати різні залишкові членів:

1. р=1 –залишк член у формі Коші;

2. р=n+1 – залишковий член у формі Лагранжа.

3. Якщо , тоді – залишковий член у формі Коші для формули Маклорена.

4. – залишковий член у формі Лагранжа для формули Маклорена.

5. Якщо h=x-x0, тоді: – формула Тейлора у диференційованому вигляді.

17. Функції багатьох змінних. Диференціал та частинні похідні.

Арифметичним або -мірним простором будемо називати множину усіх можливих -мірних точок(, де - дійсні числа, які є і координатами точки в цьому просторі). В цьому просторі вводять понятття відстані між двома точками, норми, метрики, околу точки і т.і..

Приклад норми , відстань визначається як: .

Відображення називають функцією багатьох змінних і позначається .

називають відкритою кулею з центром в точці та радіуса , якщо:

, де це метрика в просторі .

Кажуть, що послідовність точок ,-мірного простору збігається до точки , якщо збіжними є відповідні послідовності координат ,.., .

– обмежана коли для неї коля обмежаного діаметра.

Для функції багатьох змінних виконується адаптована теорема Больцано-Вейштрассе:

З – можна виділити збіжну підпослідовність

Границя за Гейне має такий вигляд:

,

Подвійна границя позначається

Повторна границя .

Лінійною формою називається лінійне відображення , -утворюють базис ,,

Озн функція називається диференційованою в точці , якщо існує

Озн якщо для існує диференціал в точці ,то вектор-рядок називається повною похідною в точці .

Озн Диференціалом в точці для диференційованої ф-ї називається лінійне відображення

Озн Функція диф. на множині якщо вона диференційована в усіх точках цієї множини

Озн Частинною похідною ф-ї по змінній в точці :

Теорема (Достатні умови диф. вточці)

– неперервна в має в ньому усі частинні похідні, які є неперервними в диференційована в точці .

25