Классификация электрических цепей

Электрические цепи, составленные из идеализированных элементов, могут быть классифицированы по ряду признаков:

1) по топологическим особенностям: разветвленные и неразветвленные, простые (одноконтурные, двухузловые) и сложные (многоконтурные, многоузловые);

2) по энергетическим свойствам: активные (содержащие активные элементы) и пассивные (не содержащие активных элементов)

3) по числу внешних выводов: двухполюсники и многополюсники.

Фундаментальный характер имеет классификация цепей в зависимости от вида дифференциального уравнения цепи.

Идеализированные электрические цепи, процессы в которых описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, называются цепями сосредоточенными параметрами. Цепи такого типа используют в качестве упрощенных моделей реальных электрических цепей и их элементов на сравнительно низких частотах, когда длина волны электромагнитных колебаний существенно больше размеров исследуемого устройства.

Идеализированные электрические цепи, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениям в частных производных, называются цепями с распределенными параметрами. В этом случае длина волны электромагнитных колебаний измерима с размерами исследуемого устройства или его элементов.

Цепь составленная только из линейных элементов называется линейной. Дифференциальное уравнение такой цепи - линейное.

Если в состав цепи входит хотя бы один нелинейный элемент, то она называется нелинейной, а процессы в ней описываются нелинейными дифференциальными уравнениями.

Параметры линейных элементов могут иметь постоянные значения либо изменяться во времени под действием некоторых факторов. Элементы первого типа называют линейными элементами с постоянными параметрами, элементы второго типа - линейными элементами с переменными параметрами или параметрическими элементами.

Наибольшее значение порядка дифференциального уравнения цепи характеризует порядок сложности цепи и равно числу реактивных элементов (емкостей и индуктивностей).

2. Методы решения задач определения токов и напряжений.

2.1. Метод пропорциональных величин.

Согласно методу пропорциональных величин, в самой удаленной от источника Э. Д. С. ветви схемы произвольно задается некоторым током в 1 А. Далее, продвигаясь от конца схемы к началу, находим токи в ветвях и напряжения на различных участках схемы. Так как найденное значение напряжение в начале схемы в общем случае не будет равно Э. Д. С. источника, то следует во всех ветвях изменить токи, умножив их на коэффициент, равный отношению Э. Д. С. источника к найденному значению напряжения в начале схемы.

Метод пропорциональных величин применим для расчета цепей, состоящих только из последовательно и параллельно соединенных сопротивлений и при наличии в схеме одного источника.

2.2. Метод контурных токов.

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи ветвей через контурные токи.

Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи ветвей через контурные токи.

или

Для второго контура

или

Введем обозначения

Общее решение системы n – уравнений относительно тока.

∆ - определитель системы.

∆_km – алгебраическое дополнение полученное из определителя ∆ путем вычеркивания k-столбца и m-й строки и умножения полученного определителя на (-1)^k+m.

Пример.

2.3. Метод узловых потенциалов.

Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего Э.Д.С. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.

Допустим, что в схеме n – узлов. Так как любая точка схемы может быть заземлена, то можно принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с n до n – 1.

Узел 4 заземлен. ₄= 0 ₁,₂,₃ - ?

Первый индекс – номер узла, от которого ток утекает, второй индекс – номер узла к которому ток подтекает. Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла:

Перепишем последнее уравнение следующим образом

где

Множителем при ₁ является коэффициент G₁₁, равный сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в первом узле. G₁₂ равняется сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих узел 1 с узлом 2, взятой со знаком минус. G₁₂ есть сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узел 1 с узлом 3, взятая со знаком минус. Ток I₁₁, называемый узловым током первого узла, - это расчетная величина, равная алгебраической сумме токов, полученной от деления Э.Д.С. ветвей, подходящих к узлу 1, на сопротивление данных ветвей. В эту сумму со знаком плюс входят токи тех ветвей, Э.Д.С. которых направлены к узлу 1.

Подобные уравнения могут быть записаны и для остальных узлов схемы. Если схема имеет n – узлов, то ей соответствует система из n-1 уравненй.

Если между какими – либо двумя узлами нет ветви то соответствующая проводимость равна нулю. После решения системы относительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома.

2.4. Метод эквивалентного генератора.

В любой электрической схеме всегда можно мысленно выделить какую – то одну ветвь, а всю остальную часть схемы независимо от ее структуры и сложности изобразить некоторым прямоугольником (двухполюсником).

Выделяют активные (А) и пассивные (П) двухполюсники.

По отношению к выделенной ветви двухполюсник при расчете можно заменить эквивалентным генератором, Э.Д.С. которого равна напряжению холостого хода на зажимах выделенной ветви, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсника.

Необходимо найти ток I. Ток I не изменится если, в ветвь ab включить две равные противоположно направленные Э.Д.С.

I=I’+I’’

I’ - ток, вызванный Э.Д.С. E₁ и всеми источниками Э.Д.С. двухполюсника.

I’’ – ток вызванный Э.Д.С. E₂.

По закону Ома . Выберем E₁ так, чтобы ток I’ был равен нулю. Отсутствие тока в ветви ab эквивалентно ее размыканию (холостому ходу).

Если Е₁=U_{ab x.x.} и I’=0, то I=I’+I’’=I’’

R – сопротивление ветви ab.

R_вх. – входное сопротивление двухполюсника.

Совокупность Э.Д.С. Е₂=U_{ab x.x.} и сопротивление R_вх. можно рассматривать как некоторый эквивалентный генератор.

Метод расчета тока в выделенной ветви, основанный на замене активного двухполюсника эквивалентным генератором, принято называть методом эквивалентного генератора (методом активного двухполюсника или методом холостого хода и короткого замыкания).

Последовательность расчета тока.

1. найти напряжение на зажимах разомкнутой ветви ab;

2. определить входное сопротивление R_вх. всей схемы по отношению к зажимам ab при закороченных источниках Э.Д.С.;

3. подсчитать ток

Если сопротивление ветви ab сделать равным нулю (R=0), то для нее будет иметь место режим короткого замыкания, а протекающий по ней ток будет током короткого замыкания .

Пример. Определить значение I_ab - ? R₁=R₄=1 Ом R₂=4 Ом R₃=R₅=2 Ом Е₁=10 В

Размыкаем ветвь ab.

Подсчитываем входное сопротивление всей схемы по отношению к зажимам ab при закороченном источнике Э.Д.С.

Точки c и d схемы оказываются соединенными

2.5. Передача энергии от активного двухполюсника нагрузке.

Если нагрузка R подключена к активному двухполюснику, то через нее пойдет ток и в ней будет выделяться мощность

Выясним, каково должно быть соотношение между сопротивлением нагрузки R и входным сопротивлением двухполюсника R_вх., чтобы в сопротивлении нагрузки выделялась максимальная мощность (экстремум функции P=f(R)).

Первая производная

 R=R_вх.

Подставляем

Полезная мощность, выделяемая эквивалентным генератором

КПД.

При R=R_вх. η=0.5

Выбор величины сопротивления нагрузки R, равного входному сопротивлению R_вх. активного двухполюсника, называется согласованием нагрузки.