12. Применение дисперсионного анализа для оценки качества уравнений регрессии. Оценка значимости коэффициентов полинома.

Дисперсионный анализ основан на разложении общей изменчивости результативного показателя на объяснённую дисперсию, которую удалось объяснить изменением переменных, вошедших в уравнение регрессии, и остаточную регрессию, которую объяснить не удалось. Для проведения дисперсионного анализа вычисляются.

1. Объяснённая сумма квадратов:

с количеством степеней свободы:

среднее значение суммы квадратов:

2. Остаточная сумма квадратов:

с количеством степеней свободы:

среднее значение суммы квадратов:

3. Общая сумма квадратов:

с количеством степеней свободы:

Должно выполняться равенство:

4. Критерий Фишера

с количеством степеней свободы:

5. Коэффициент множественной детерминации,

с количеством степеней свободы:

Показывает, какую часть изменения результативного показателя удалось объяснить изменением переменных, вошедших в уравнение регрессии.

Если вычисленные значения не меньше критических значений, то результаты аппроксимации признаются удовлетворительными.

6. Так как коэффициенты уравнения регрессии вычисляются по случайным величинам, то они и сами являются случайными величинами. Поэтому можно вычислить их стандартные ошибки и по ним определить критерий Стьюдента и уровни их значимости.

где -диагональный элемент матрицы.

чем больше величина , тем лучше.

Вычисляем критическое значение критерия Стьюдента . Если вычисленное значение превышает критическое, то считаем, что уровень значимости не превышает рекомендуемого значения , и поэтому вычисленные значения коэффициентов приемлемы для отображения экспериментальных данных. В противном случае рекомендуется подобрать другие значения переменных в аппроксимирующее уравнение регрессии, в виде каких-либо функций от аргументов.

13. Метод оптимизации по системе ур-й в частных производных.

Постановка задачи оптимизации в общем случае сводится к максимизации или минимизации целевой функции с ограничениями на остальные функции и оптимизируемые факторы:

…

Наиболее простой случай, когда нет никаких ограничений. В этом случае применяется классический метод вычисления по решению системы в частных производных по оптимизируемым переменным.

Рассмотрим двухфакторную математическую зависимость:

Вид экстремума определяется значением вторых частных производных:

1. Если и , то имеем максимум.

2. Если и , то имеем минимум.

3. Если то нет ни мин, ни макс.

4. Если , то экстремум может быть или не быть. Требуется дополнительное исследование.

Рассмотрим частный случай двухфакторной функции:

Вычислим частные производные и координаты экстремальной точки: