4.4.1. Алгоритм метода Мака

1. Разделить множество столбцов на А и A', где

А – выбранное множество,

A' – невыбранное

В начале вычислений и при переходе от циклов к началу выбранных

столбцов нет; все столбцы относятся к A'.

Выбрать из множества A' столбец, содержащий более одного подчеркнутого элемента, перевести этот столбец из A' в А.

Подчеркнутый элемент – минимальный элемент в строке.

Примечание: перед первым шагом алгоритма множество А всегда является пустым.

2. Если подчеркнутый элемент находится в множестве А, найти в каждой строке разность между минимальным подчеркнутым и минимальным неподчеркнутым элементами. Из всех найденных разностей выбрать минимальную.

3. Увеличить все элементы матрицы А на выбранную на 2-м шаге минимальную разность.

4. В строке с минимальной разностью отметить пунктиром минимальный неподчеркнутый элемент

5. Столбец, содержащий отмеченный пунктиром элемент , перенести в множество С.

Если в С более 2-х неподчеркнутых элементов, то перенести С из A' в А и перейти ко 2-му шагу. Иначе, перейти к 6-му шагу.

6. Отмеченный пунктиром элемент подчеркнуть (меняется на ).

7. Найти исходный подчеркнутый элемент в строке с минимальной разностью (в той строке, где ) и убрать подчеркивание ( меняется на ). Обозначить столбец с элементом D.

8. Если D не содержит других подчеркнутых элементов, он должен содержать элементы, отмеченные пунктиром. Обозначить этот элемент и перейти к 6-му шагу.

Если D содержит еще 1 подчеркнутый элемент, то полностью подчеркнутые элементы образуют новый базис. В этом случае перейти к 1-му шагу.

4.4.2. Пример решения задачи о назначении методом Мака.

Пример 4. Исходная таблица:

Подчеркнем минимальные элементы в строке и внесем в множество А первый столбец, т.к. в нем два подчеркнутых элемента. Минимальная разность из найденных соответствует второй строке. Поскольку эта разность равна 0, элементы множества А остаются без изменений. Перейдем к следующей таблице.

Отметим пунктиром элемент . Добавим пятый столбец в множество С. В С только один подчеркнутый элемент. Подчеркиваем его сплошной чертой, убираем подчеркивание элемента и обозначаем первый столбец буквой D. В D есть еще один подчеркнутый элемент , значит, переходим к первому шагу.

Внесем в множество А третий столбец, найдем минимальную разность и перейдем к следующей таблице.

Отметим пунктиром элемент . Добавим четвертый столбец в множество С. В С только один подчеркнутый элемент. Подчеркиваем его сплошной чертой, убираем подчеркивание элемента и обозначаем третий столбец буквой D. В D есть еще подчеркнутые элементы, значит, переходим к первому шагу.

Внесем в множество А третий столбец, найдем минимальную разность и перейдем к следующей таблице.

Отметим пунктиром элемент . Добавим пятый столбец в множество С. В С есть еще подчеркнутые элементы, поэтому переводим пятый столбец в А. Минимальная разность соответствует второй строке.

Отметим пунктиром элемент . Добавим первый столбец в множество С. В С есть еще подчеркнутые элементы, поэтому переводим пятый столбец в А. Минимальная разность соответствует второй строке. Прибавляем ко всем элементам множества А величину минимальной разности, т.е. 1.

Отметим пунктиром элемент . Добавим второй столбец в множество С. В С только один подчеркнутый элемент. Подчеркиваем его сплошной чертой, убираем подчеркивание элемента и обозначаем пятый столбец буквой D. В D есть один подчеркнутый пунктиром элемент . Подчеркиваем его сплошной чертой, убираем подчеркивание элемента . Распределение закончено.Соответствующее значение целевой функции:

f = 6 + 16 + 6 + 14 + 8 = 50

Теория игр

Пример 5.2.6.1. Найти оптимальные стратегии банков для задачи из примера 3 с платежной матрицей А:

Решение.

1. Проверим, имеет ли игра решение в чистых стратегиях (см. пример 5.2.3.2).

2. Упростим платежную матрицу (см. пример 5.2.4.1):

Подпишем над столбцами матрицы смешанные стратегии банка В, которые остались после исключения доминируемых стратегий В₂, В₅, вероятности применения которых равны нулю: q₂ = 0, q₅ = 0. Рядом со строками матрицы подпишем смешанные стратегии банка А, которые остались после исключения доминируемых стратегий А₁, А₂, А₅, вероятности применения которых также равны нулю: p₁ = 0, p₂ = 0, p₅ = 0.

3. Так как среди элементов упрощенной матрицы есть отрицательные, то ко всем элементам А прибавим такое число L > 0, чтобы все значения стали неотрицательными. В нашем примере возьмем L = 1. При этом цена игры увеличится на L = 1 и станет равной , а оптимальные смешанные стратегии банков не изменятся. Получим следующую платежную матрицу:

.

4. Составим пару взаимно двойственных задач, эквивалентную матричной игре с платежной матрицей А₄. Для этого подпишем над столбцами матрицы переменные х₁, х₂, х₃, соответствующие смешанным стратегиям банка В, а рядом со строками матрицы − переменные y₁, y₂, соответствующие смешанным стратегиям банка А:

Целевая функция z прямой задачи исследуется на максимум и равна сумме переменных , т.е.

.

А ограничения выписываются по строкам и не превышают единицы:

Целевая функция F двойственной задачи исследуется на минимум и равна сумме переменных , т.е.

,

при ограничениях, больших либо равных единице, которые выписываются по столбцам:

(Можно также просто построить двойственную задачу к прямой.)

5. Решим прямую задачу симплекс-методом:

Приведем ее к каноническому виду

Выпишем начальный опорный план задачи (это возможно, так как в каждом ограничении есть по одной базисной переменной: в 1-м – х₄, во 2-м – х₅):

.

Составим исходную симплекс-таблицу и решим задачу обычным симплекс - методом.

Итерация №0

базис	значение	x1	x2	x3	x4	x5
x4	1	8	2	0	1	0
x5	1	0	1	4	0	1
z (x)	0	-1	-1	-1	0	0

Найдем ведущий элемент по минимальному симплексному отношению и пересчитаем таблицу методом замещения Жордана–Гаусса. Занесем новые данные во 2-ю симплексную таблицу.

Переменную x₃ вводим в число базисных вместо переменной x₅.

Ведущий элемент равен 4.

Итерация №1

базис	значение	x1	x2	x3	x4	x5
x4	1	8	2	0	1	0
x3	0,25	0	0,25	1	0	0,25
z (x)	0,25	-1	-0,75	0	0	0,25

Аналогичным образом будем пересчитывать таблицы до тех пор, пока в z-строке все элементы (не считая значения) станут неотрицательными.

Переменную x₁ вводим в число базисных вместо переменной x₄.

Ведущий элемент равен 8.

Итерация №2

базис	значение	x1	x2	x3	x4	x5
x1	0,125	1	0,25	0	0,125	0
x3	0,25	0	0,25	1	0	0,25
z (x)	0,375	0	-0,5	0	0,125	0,25

Переменную x₂ вводим в число базисных вместо переменной x₁.

Ведущий элемент равен 0,25.

Итерация №3

базис	значение	x1	x2	x3	x4	x5
x2	0,5	4	1	0	0,5	0
x3	0,125	-1	0	1	-0,125	0,25
z (x)	0,625	2	0	0	0,375	0,25

Так как в z-строке последней симплексной таблицы все элементы больше или равны нулю, то найден оптимальный план. Он единственный, поскольку нули z-строки соответствуют только базисным переменным: , а значение целевой функции .

По соответствию переменных прямой и двойственной задач выпишем решение двойственной задачи. Так как у нас симметричная пара двойственных задач, то в строке оценок (z-строке) найдем элементы, соответствующие переменным, которые входили в исходный базис, x₄, x₅, и присвоим их значения двойственным неизвестным y₁, y₂, т. е. . Следовательно, . При этом минимальное значение целевой функции двойственной задачи совпадает с максимальным значением целевой функции исходной задачи, т.е. .

6. Используя соотношения между оптимальными решениями пары двойственных задач и , оптимальными стратегиями и и ценой игры , найдем решение игры в смешанных стратегиях.

Вычислим сначала цену игры , используя формулу

:

Используя соответствия между и , и из матрицы

найдем оптимальные смешанные стратегии банков А и В по формулам

;

.

Тогда оптимальные стратегии банка А будут равны:

Следовательно, из общей суммы средств а тыс. ден. ед., выделяемых банком А на строительство пяти объектов, на долю 3-го объекта следует выделить 60 % (так как ), а на долю 4-го − 40 % этой суммы (так как ). На остальные строительные объекты деньги выделять нецелесообразно (так как ).

Для банка В соответственно получим:

Таким образом, из общей суммы средств b тыс. ден. ед., выделяемых банком В на строительство пяти объектов, на долю 3-го объекта следует выделить 80 % (так как ), а на долю 4-го − 20 % всей суммы (так как ). В остальные строительные объекты деньги вкладывать нецелесообразно (так как ).

Такое распределение денежных средств банками А и В на строительство пяти объектов позволит им получить максимальную прибыль 0,6 тыс. ден. ед.