Лабораторная работа 1

1 Построить таблицы истинности для формул

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10).

2 Без построения таблиц истинности докажите, что следующие формулы являются тавтологиями:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

3 Без построения таблиц истинности докажите, что следующие формулы являются противоречием:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

4 Решить уравнения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

5 Какие из приведенных ниже формул являются тавтологиями, противоречиями, выполнимыми:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

6 Упростить:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

7 Равносильны ли следующие формулы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

Вопросы для самоконтроля

1 Булевы функции. Таблицы истинности.

2 Число булевых функций от переменных.

3 Элементарные булевы функции.

4 Формулы алгебры логики. Классификация формул.

5 Равносильные формулы. Законы равносильности.

6 Логические уравнения.

Литература

1 Карпов, В. Г. Математическая логика и дискретная математика [Текст] : учебное пособие для студентов университетов / В. Г. Карпов, В. А. Мощенский. – Мн. : Вышэйшая школа, 1977. – 255 с.

2 Яблонский, С. В. Введение в дискретную математику [Текст] : учебное пособие для вузов по специальности «Прикладная математика» / С. В. Яблонский. – М. : Наука, 1979. – 272 с.

3 Мощенский, В. А. Лекции по математической логике [Текст] : учебное пособие для студентов математических специальностей вузов/ В. А. Мощенский. – Мн. : Изд. центр БГУ, 1973. – 159 с.

Тема 2 нормальные формы булевых функций

2.1 Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

2.2 Конъюнктивная нормальная форма (КНФ)

2.3 Совершенные дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы и алгоритмы их построения

Основные понятия по теме

Введем обозначение

Формула , где , , а среди переменных могут быть совпадающие, называется элементарной конъюнкцией.

Дизъюнкция элементарных конъюнкций называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

Элементарная конъюнкция называется правильной, если в нее каждая переменная входит не более одного раза (включая ее вхождение под знаком отрицания).

Правильная элементарная конъюнкция называется полной относительно переменных , если в нее каждая из этих переменных входит один и только один раз.

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) относительно переменных называется дизъюнктивная нормальная форма, в которой нет одинаковых элементарных конъюнкций и все элементарные конъюнкции правильны и полны относительно переменных .

Всякую булеву функцию , не равную тождественно нулю, можно представить совершенной дизъюнктивной нормальной формой:

(1)

Пример 1 Найти ДНФ для формулы .

Пример 2 Найти СДНФ для формулы .

1 способ (табличный).

Данный способ основан на разложении (1). Суть его состоит в следующем:

1) составляется таблица истинности для данной формулы;

2) в таблице истинности выделяются наборы , для которых значение формулы истинно;

3) для каждого такого набора составляются элементарные конъюнкции;

4) составляем дизъюнкции построенных элементарных конъюнкций:

0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	1 1 0 0 0 0 1 1	1 0 0 1 1 0 0 1	1 1 0 1 1 0 1 1

.

2 способ (аналитический).

Формула вида называется элементарной дизъюнкцией.

Всякая конъюнкция элементарных дизъюнкций называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Элементарная дизъюнкция называется правильной, если в ней каждая переменная входит не более одного раза (включая ее вхождение под знаком отрицания).

Правильная элементарная конъюнкция называется полной относительно переменных , если каждая из этих переменных входит в нее один и только один раз (быть может, под знаком отрицания).

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) относительно переменных называется конъюнктивная нормальная форма, в которой нет одинаковых элементарных дизъюнкций и все элементарные дизъюнкции правильны и полны относительно переменных .

Всякую функцию , отличную от тождественно истинной, можно представить совершенной конъюнктивной нормальной формой:

, (2)

где символ означает, что конъюнкция берется по тем наборам, которые указаны под ним.

Пример 3 Найти КНФ для формулы .

.

Пример 4 Найти СКНФ для формулы .

1 способ (табличный).

Данный способ основан на разложении (2). Суть его состоит в следующем:

1) составляется таблица истинности для данной формулы;

2) в таблице истинности выделяются наборы , для которых значение формулы ложно;

3) для каждого такого набора составляется элементарная дизъюнкция ;

4) составляем конъюнкцию элементарных дизъюнкций:

0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 0 1 1 1 1 0 0	1 0 1 0 1 1 1 1	0 0 1 0 1 1 0 0

.

2 способ (аналитический).

.

Полиномом Жегалкина называется полином вида

,

причем в каждом наборе все различны, а суммирование ведется по некоторому множеству таких не совпадающих наборов, – константа 0 или 1.

Справедливы следующие равносильности:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Каждая булева функция может быть единственным образом выражена при помощи полинома Жегалкина.

Пример 5 Выразить формулу в виде полинома Жегалкина.

1 способ (метод неопределенных коэффициентов)

При имеем: ;

При имеем: ;

При имеем: ;

При имеем: , т.е. .

Отсюда .

2 способ

Приведем полиномы Жегалкина элементарных булевых функций

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .