Принадлежность трёх прямых одному пучку

Рассмотрим три прямые l : и₁ х₁+ и₂ х₂+ и₃ х₃ = 0,

т : v₁ х₁+ v₂ х₂+ v₃ х₃ = 0,

п : w₁ х₁+ w₂ х₂+ w₃ х₃ =0.

Если l ∩ m ∩ n = А, то у однородной системы линейных уравнений должно существовать одно не нулевое решение (с точностью до пропорциональности), т.е. подпространство решений состоит из одного вектора

1 = 3 – rg rg = 2,

это означает, что одна строка является линейной комбинацией других: w = λ∙и + μ∙v - параметрическое уравнение пучка прямых. (сравнить с коллинеарностью трех точек Х = λ∙А + μ∙В ).

Координаты точки и уравнение прямой в пространстве

Рассмотрим п –мерное проективное пространство P_п.

Определение: Е₁ , Е₂ ,…, Е_п+1 , Е - упорядоченная система различных точек среди которых никакие три не лежат на одной прямой (Р₁), никакие четыре не лежат на одной плоскости (Р₂), никакие пять не принадлежат (Р₃), и т.д. называется проективным репером в пространстве P_п.

Обозначение: R(Е₁, Е₂, …, Е_п+1, Е) - проективный репер на прямой.

Названия: Е₁, Е₂,… , Е_п+1 - вершины репера или базисные точки,

Е - единичная точка,

(Е₁Е₂), (Е₁Е₃), …, (Е_пЕ_п+1) - координатные прямые.

Проективное пространство P_п порождается V_п+1.

Пусть Е₁, Е₂,…, Е_п+1, Е порождаются - ē₁ , ē₂ ,…, ē_п+1 , ē V_п+1.

Векторы ē₁ , ē₂ ,…, ē_п+1 – линейно независимы (почему?), а значит могут быть базисом в V_п+1.

Определение: Система векторов ē₁ , ē₂ , ,…, ē_п+1 , ē - называется согласованной,

если ē₁+ē₂ +…+ ē_п+1 =ē.

Пусть ē₁, ē₂, ,…, ē_п+1 , ē - согласованная система векторов и пусть точка МP_п порождается вектором , тогда = х₁∙ē₁+ х₂∙ē₂ +…+ х_п+1 ∙ē_п+1

Определение: Набор чисел ( х₁ : х₂ : … : х_п+1 ) называется координатами точки в данном репере.

По аналогии с проективной прямой и проективной плоскостью, координаты точки в P_п определяются с точностью до пропорциональности.

Точки могут лежать на одной прямой или не лежать на одной прямой.

1. А, В, С P₁ , тогда векторы , , L₂ , , - линейно-зависимы α, β такие, что = α∙ā + β∙

=α∙+ β∙, или rg= 2.

2. А, В P₁ и С P₁ , тогда векторы , , L₂

, , - линейно-независимы ≠ α∙+ β∙

≠ α∙+ β∙, или rg≠ 2.

Пусть даны две различные точки А и В, по свойствам Р_п через две различные точки проходит одна и только одна прямая - (АВ).

Пусть точка Х (АВ), тогда = λ∙+ μ∙ или Х=λ∙А+ μ∙В – параметрическое уравнение прямой в пространстве.

Замечание: В проективном пространстве прямая может задаваться только параметрическим уравнением (сравнить с заданием прямой в евклидовом пространстве).

Однородное уравнение вида и₁ х₁+ и₂ х₂+…+ и_п+1 х_п+1 = 0 не будет задавать прямую.

Преобразование координат

Рассмотрим проективную прямую Р₁ и два репера

R(Е₁ ,Е₂ ,Е) и R′(Е′₁ ,Е′₂ , Е′). Пусть известны координаты точек второго репера в первом репере:

Е′₁ , Е′₂, Е′, т.е. ē′₁ = α₁₁ ē₁+ α₂₁ ē₂, ē′₂ = α₁₂ ē₁ + α₂₂ ē₂ , ē′ = α₁₀ ē₁ + α₂₀ ē₂ .

В общем случае репер R′(Е′₁ ,Е′₂ ,Е′) может оказаться не согласованным (ē′₁+ ē′₂ ≠ ē′). Согласуем точки второго репера, т.е. найдем такие числа k₁ и k₂ , что ē′ = k₁ē′₁ + k₂ē′₂ , для этого необходимо решить систему: .

Пусть матрица системы А, тогда ∆А≠0 (почему?).

Система имеет единственное решение (k₁ , k₂) и тогда будем считать координатами точек Е′₁ и Е′₂, репер в этом случае будет согласованным.

Замечание: В дальнейшем будем считать, что второй репер – согласован (если нет, то мы знаем, как его согласовать).

Пусть точка Х в репере R и та же точка в репере R′ имеет координаты .

Тогда вектор , порождающий эту точку может выражаться через вектора первого и второго базисов: = х₁ ∙ē₁ + х₂ ∙ē₂ или = у₁∙ē′₁ + у₂∙ē′₂

= у₁∙ē′₁ + у₂∙ē′₂ = у₁∙(α₁₁∙ē₁ + α₂₁∙ē₂)+ у₂∙(α₁∙ē₁ + α₂₂∙ē₂) = =(у₁∙α₁₁+ у₂∙α₁₂)∙ē₁+ (у₁∙α₂₁+ у₂∙α₂₂)∙ē₂ = х₁∙ē₁+ х₂∙ē₂ х₁ = у₁∙α₁₁ + у₂∙α₁₂ и х₂ = у₁∙α₂₁ + у₂∙α₂₂ ,

или = ∙, в матричной записи: Х_R =A∙X_R′ ,

где Х_R - столбец координат точки Х в первом (старом) репере,

а X_R′ - столбец координат той же самой точки Х во втором (новом) репере.

Матрица А будет матрицей перехода от старого репера к новому реперу.

Замечание: Матрица А является невырожденной. (Почему?).

Вывод: Зная матрицу перехода и координаты точки в новом репере можно находить координаты точки в старом репере:

Х_R =A∙X_R′ │∙А^-1 слева

А^-1 ∙ Х_R = А^-1∙A∙X_R′ = X_R′ X_R′ = А^-1 ∙ Х_R .

Вывод: Формулы преобразования координат точек при переходе к другому реперу имеют вид:

λ Х_R =A∙X_R′ и μ X_R′ = А^-1 ∙Х_R .

Аналогичные рассуждения можно применить для Р₂,

Пусть Е'₁, Е'₂, Е'₃, Е'.

Для согласования второго репера будем находить k₁ , k₂ , k₃ .

Получим матрицу третьего порядка А.

Формулы преобразования координат точек будут такими же:

λ Х_R =A∙X_R′ и μX_R′ = А^-1∙Х_R .

Рассмотрим прямую и∙Х=0.

Пусть её координаты в старом репере - и_R и в новом - u_R′ .

Уравнение прямой в старом репере и_R ∙Х_R=0, в новом и_R′ ∙Х_R′=0.

Подставим формулы преобразования координат, получим 0= и_R∙Х_R = и_R∙A∙X_R′ = и_R′ ∙Х_R′ ,

где и_R∙A=и_R′ или λ и_R′= и_R∙A, тогда μ и_R = и_R′ ∙A^-1 .

Вывод: Формулы преобразования координат точек и прямых на проективной плоскости имеют вид:

Для точек λ Х_R =A∙X_R′ и μ X_R′ = A ^-1 ∙Х_R .

Для прямых λ и_R′= и_R ∙ A и μ и_R = и_R′ ∙ A ^-1.

Замечание: Обратите внимание на умножение матриц: для точек матрица перехода умножается слева, а для прямых справа.

Задача. Даны два репера R(Е₁ , Е₂ , Е₃ , Е) и R′(Е′₁ , Е′₂ , Е′₃ , Е′). Известны координаты точек второго репера в первом:

Е′₁ , Е′₂, Е′₃, Е′.

Найти формулы преобразования координат при переходе от одного репера к другому. Найти координаты точки М во втором репере если известны её координаты в первом М_R . Найти координаты точки К в первом репере если известны её координаты во втором К_{R ′} .

Найти уравнение прямой а : 5 х₁ - 2 х₂+3 х₃ = 0 в новом репере.

Решение. Проверим, согласованы ли точки второго репера:

++=≠ - второй репер не согласован.

Согласуем его, для этого решим систему ,

её решением будет: k₁ = 2, k₂ = 2, k₃= -1,

тогда матрица перехода будет A ,

обратной является A^-1==.

Так как координаты определяются с точностью до пропорциональности коэффициент можно отбросить.

Формулы преобразования координат примут вид:

λХ_R=∙X_R′ и μX_R′ =∙Х_R .

μМ_R′ = A ^-1 ∙М_R =∙=.

λК_R= A ∙К_R′ =∙=, с учетом пропорциональности координаты точки К в старом репере будут .

λ а_R′= а_R∙A =∙=, с учетом пропорциональности координаты прямой будут а_R′ : 10 х′₁ + 9 х′₂ = 0