5.2. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса

Величины a_ij называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:

. (5.4)

Определение 1. Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.

С учетом формулы (5.4) можно переписать в виде

(5.5)

Или в матричной форме

X = АХ + Y. (5.6)

Система уравнений (5.5), или в матричной форме (5.6), называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью Леонтъева, моделью «затраты— выпуск»). С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:

• Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (X_i), можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (Y_i):

. (5.7)

• Задав величины конечной продукции всех отраслей (Y_i), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (X_i):

. (5.8)

• Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

В формулах (5.7) и (5.8) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, а обозначает матрицу, обратную к матрице . Если определитель матрицы не равен нулю, т.е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через B, тогда систему уравнений в матричной форме (5.8) можно записать в виде

X = BY. (5.8')

Таким образом, валовая продукция выступает как взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты b_ij, которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли. В отличие от коэффициентов прямых затрат a_ij коэффициенты b_ij называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

Определение 2. Коэффициент полных материальных затрат b_ij показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

Коэффициенты полных материальных затрат можно применять, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей:

(5.9)

где и — изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.

Определение 3. Неотрицательную матрицу А (А≥0) называют продуктивной, если существует хотя бы один такой положительный вектор Х > 0, что (Е-А)Х > 0.

Это определение имеет простой экономический смысл: матрица А продуктивна, если существует такой план Х > 0, что каждый объект (отрасль, предприятие, цех) может произвести некоторое количество конечной продукции.

Имеет место замечательный факт, что продуктивность матрицы А≥0 является необходимым и достаточным условием существования, единственности и неотрицательности решения системы уравнений Y=(Е–А)Х при любом неотрицательном векторе Y≥0.

Укажем некоторые способы определения продуктивности матрицы А (признаки продуктивности): для ее продуктивности необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий.

1. Матрица (Е–А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица и все ее элементы неотрицательны;

2. Положительны все главные миноры матрицы (Е–А);

3. Матричный ряд Е+А+А²+…=ΣА^k сходится, причем ΣА^k=(Е-А)^-1.

4. Максимальное собственное число матрицы А меньше единицы λ(А)<1 (собственными значениями (числами) квадратной матрицы А называются корни (решения) характеристического уравнения |A-λE|=0).

Пример 5.1. Оценить продуктивность матрицы

Решение. Оценку матрицы произведем по второму и четвертому признакам.

1. Рассмотрим матрицу

Определим ее главные миноры: Δ₁=0,6>0; Δ₂=0,6*0,9-(-0,2)*(-0,3)= 0,54-0,06=0,48>0. Таким образом, матрица А – продуктивна.

Рассмотрим характеристическое уравнение |A-λE|=0:

|A– λE|=(0,4 - λ)(0,1- λ)-0,2*0,3= λ²-0,5 λ-0,02=0

Таким образом,

следовательно, матрица А – продуктивна.

Пример 5.2. Предприятие выпускает продукцию трех видов, причем каждое из его структурных подразделений (цехов) специализируется на выпуске только одного вида: первый цех выпускает продукцию первого вида, второй – продукцию второго вида, третий – продукцию третьего вида. Часть продукции идет на внутреннее потребление, остальная является конечным продуктом.

Имеются экономические оценки коэффициентов прямых затрат конечной продукции:

, .

Требуется составить баланс производства и распределения продукции предприятия.

Решение. Модель баланса производства и распределения продукции предприятия можно представить следующей системой уравнений:

Отсюда по формуле (5.8) определяем валовую продукцию цехов. Сначала найдем обратную матрицу .

1..

2. Вычислим определитель матрицы (Е–А).

3. Вычислим обратную матрицу по формуле: ,

– матрица, составленная из алгебраических дополнений к элементам а_ij, определяемые по формулам .

Вычислим эти алгебраические дополнения:

, ,

, ,

,

Обратная матрица существует и все ее элементы неотрицательны, значит матрица А продуктивна.

Теперь вычисляем валовой выпуск продукции

.

Распределение продукции между цехами на внутреннее потребление определяем из соотношения (5.4) , х₁₁=0,1*60=6, х₁₂=0,3*40=12, х₁₃=0,2*30=6,

х₂₁=0,2*60=12, и т. д.

В итоге плановая модель – баланс производства и распределение продукции предприятия – будет иметь следующий вид (см. табл. 5.2)

Таблица 5.2

Межпродуктовый баланс производства и распределение продукции
Производящие структуры	Потребляющие структуры			Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	3
1	6	12	6	36	60
2	12	8	9	11	40
3	6	4	12	8	30
Итого	24	24	27	55	130

Равенство (5.2) выполняется. Действительно, 24+24+27+55= =60+40+30=130.