Метод трапеции

В этом методе интеграл, приближенно заменяется на сумму площадей трапеций, образующихся после замены графика функции ломаной, соединяющей точки .

Площадь трапеции с номером равняется

-шаг интегрирования

Для практического использования важен случай интегрирования с постоянным шагом тогда

Погрешность интегрирования определяется шагом разбиения h. С уменьшением h точность возрастает. Точность вычисления интеграла по методу прямоугольников и трапеций имеет порядок .

При интегрировании методом прямоугольников подинтегральная функция на каждом частном отрезке апроксимируется постоянной величиной равной

А в методе трапеций подинтегральная функция апроксимируется линейной зависимостью, проходящей через точку,. Существуют методы, для которых подинтегральная функция апроксимируется другими зависимостями.

Метод 23

Метод Симпсона.

Подинтегральное выражение апроксимируется квадратичной зависимостью вида

Для применения метода Симпсона отрезок интегрирования разбиваем на четное число 2n частных отрезков с одинаковым шагом , а в качестве аппроксимирующей функции берём полином Лагранжа, проходящий через три точки: ,,.

Можно показать, что интеграл от соответствующего полинома Лагранжа

Таким образом

Погрешность метода Симпсона пропорциональна 0()-и имеет порядок .

Метод 24

Метод Гаусса.

В предыдущих методах при численном интегрировании подинтегральную функцию вычисляют в равноотстоящих друг от друга узлах. В методе Гаусса для повышения точности численного интегрирования значения подинтегральной функции вычисляют в специально подобранных узлах.

Рассмотрим сначала стандартный отрезок и зададим число m= числу узлов, в которых вычисляется подинтегральная функция. Координаты этих узлов обозначим

и получим для определённого интеграла приближенное выражение

(1.1)

Узлы подбирают таким образом, чтобы обеспечить максимальную точность выражения (1.1).

Она будет максимальной в том случае, если узлы будут соответствовать корням полиномов Лагранжа.

Метод Гаусса представляет собой группу методов различающихся числом узлов. Значения параметров , для m=2;3 запишем в таблицу.

m	j			№метода
2	1		1	24
	2		1
3	1	0,7745967		25
	2	0
	3	0,7745967

С помощью формулы Гаусса (1.1) с m-узлами на стандартном отрезке можно получить формулу для вычисления интеграла на произвольном отрезке .

Для этого разбиваем отрезок на n равных частичных отрезков. На каждом отрезке

Задаём m узлов с помощью формулы

i – это номер частичного отрезка;

j – это номер узла в каждом частичном отрезке.

Для

Метод 24 даёт точные значения интеграла для полиномов степени , при m=2 метод Симпсона и метод Гаусса имеют приблизительно одинаковую точность. Однако метод Симпсона более удобен, так как для него узлы расположены равномерно, поэтому метод Гаусса целесообразно использовать при m>2.

Метод 26