Выбор оптимального шага численного дифференцирования

Оценка абсолютной погрешности численного дифференцирования складывается из остаточной погрешности, оцениваемой величиной , и вычислительной погрешности, определяемой приближенным заданием величин y_i, i=0,1,...,n, (погрешностью округления результата пренебрегаем). Рассмотрим для определенности формулу (19).

Приближенное значение производной

(22)

имеет остаточную погрешность

и вычислительную погрешность согласно равенству (9) темы I

где - абсолютная погрешность каждого из чисел y_i, i=0,1,...,n.

Таким образом, полная погрешность формулы численного дифференцирования (22)-

Для малости необходима малость h, но при уменьшении h растет . Из уравнения получаем значение h^*, при котором погрешность формулы (22) имеет минимальное значение.

Задача.

Функция f(x) задана таблицей своих значений, верных в написанных знаках. Найти первую производную этой функции в точках x₁^*=0,7 и x₂^*=1,0. Оценить погрешности результатов. Найти оптимальный шаг h^* для каждой из формул численного дифференцирования.

Xi	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
yi	0,4794	0,5646	0,6442	0,7174	0,7833	0,8415

Решение.

Точка x₁^*=0,7 - центральный узел таблицы. Для вычисления в данной задаче следует воспользоваться одной из формул (8), (14), (15), (18).

1) Воспользуемся формулой (8), обозначив x₀=0,6; x₁=0,7; x₂=0,8. Тогда

Остаточная погрешность результата в соответствии с формулой (11) -

где

Чтобы оценить M₃, построим для данной функции таблицу конечных разностей.

xi	yi
0,5	0,4794
		0,0852
0,6	0,5646		-0,0056
		0,0796		-0,0008
0,7	0,6442		-0,0064		-0,0001
		0,0732		-0,0009
0,8	0,7174		-0,0073		0,0003
		0,0659		-0,0006
0,9	0,7883		-0,0077
		0,0582
1,0	0,8415

Вычислительная погрешность результата -

где - абсолютная погрешность величин y_i.

Определим оптимальный шаг для использованной формулы численного дифференцирования.

откуда

.

2) Решим теперь данную задачу с помощью формулы (14), обозначив x₀=0,6; x₁=0,7; x₂=0,8; x₃=0,9.

Определим для этой формулы оптимальный шаг численного дифференцирования.

Точка x₂^*=1,0 является последним узлом таблицы. Для вычисления служат формулы (9), (16), (21). Воспользуемся формулой (16), обозначив x₀=0,7; x₁=0,8; x₂=0,9; x₃=1,0.

.

Определим соответствующий данной формуле оптимальный шаг таблицы.