Вопросы для контроля:

• Как в общем случае вычисляется момент сил?

• Сформулируйте два условия равновесия тел.

• В каком случае ось для вычисления моментов сил может быть выбрана произвольным образом?

1.7. Механика твердого тела

Кинематика вращательного движения.

Вращательное движение твердого тела удобно описывать с помощью угловых величин, так как они принимают одинаковые значения для всех точек вращающегося тела.

Чтобы охарактеризовать не только быстроту вращения, но и направление вращения, вводят угловую скорость в качестве векторной величины . По определению вектор направлен вдоль оси вращения так, что направление вращения и направление образуют правовинтовую систему. По аналогии введем вектор углового ускорения .^*

Н

айдем связь между угловой и линейной скоростью: = .

В векторном виде связь между векторами угловой и линейной скорости выглядит так: , см. рис.11. Аналогично получаем для ускорения: .

Рис.11

1.7.1. Кинетическая энергия вращающегося тела. Момент инерции.

Если тело вращается относительно неподвижной оси с угловой скоростью , то его кинетическая энергия равна:

,

где - момент инерции тела.

При плоском движении^* кинетическая энергия тела равна:

, где - скорость центра масс, - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, см.[ 2 ].

При практическом вычислении моментов инерции бывает полезно свести момент инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела

, где - расстояние между параллельными осями. Это соотношение выражает теорему Штейнера, см. [ 1 ].

1.7.2. Основное уравнение динамики вращательного движения

Рассмотрим вращение твердого тела относительно неподвижной оси. Из полученного ранее выражения после дифференцирования по времени, и с учетом получим основное уравнение динамики вращательного движения .

Это уравнение является аналогом второго закона Ньютона для вращательного движения. Из этого уравнения видно, что момент инерции играет роль массы, т.е. является мерой инертности по отношению к вращательному движению.

Заметим, что при выводе уравнения динамики вращательного движения нельзя в общем случае использовать равенство , так как оно справедливо только для осесимметричных однородных тел, но можно использовать выражение для кинетической энергии , после дифференцирования которого по времени получаем: , откуда сразу вытекает равенство .

Задача №31 (№ 1.48 из сборника задач [5]). Твердое тело вращается, замедляясь, вокруг неподвижной оси с угловым ускорением , где – его угловая скорость. Найти среднюю угловую скорость тела за время, в течение которого оно будет вращаться, если в начальный момент его угловая скорость была равна _0.

Решение: ; ; ;

; .

Задача №32 (№ 1.258 из сборника задач [5]). Найти момент инерции тонкого проволочного кольца радиусом a и массы m относительно оси, совпадающей с его диаметром.

Задача №33 (№ 1.268 из сборника задач [5]). Однородный цилиндр радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости и поместили затем в угол. Коэффициент трения между стенками угла и цилиндром равен k. Сколько оборотов сделает цилиндр до остановки?

Решение: ; ;

; ;

.

Задача №34 (№ 1.270 из сборника задач [5]). Однородный диск радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости и осторожно положили на горизонтальную поверхность. Сколько времени диск будет вращаться на поверхности, если коэффициент трения равен k.