25) Лаба1

В цепях постоянного тока распределение электрических зарядов на проводниках и токов на участках цепи стационарно, то есть неизменно во времени. Электромагнитное поле в таких цепях состоит из электростатического поля неподвижных зарядов и магнитного поля постоянных токов. Эти поля существуют независимо друг от друга.

Если на каком-то участке цепи происходят изменения силы тока или напряжения, то другие участки цепи могут «почувствовать» эти изменения только через некоторое время, которое по порядку величины равно времени τ распространения электромагнитного возмущения от одной точки цепи к другой. Так как электромагнитные возмущения распространяются с конечной скоростью, равной скорости света c , то где l – расстояние между наиболее удаленными точками цепи. Если это время τ много меньше длительности процессов, происходящих в цепи, то можно считать, что в каждый момент времени сила тока одинакова во всех последовательно соединенных участках цепи. Процессы такого рода в электрических цепях называются квазистационарными.

Квазистационарные процессы можно исследовать с помощью законов постоянного тока, если применять эти законы к мгновенным значениям сил токов и напряжений на участках цепи.

Из-за огромного значения скорости света время установления электрического равновесия в цепи оказывается весьма малым. Поэтому к квазистационарным можно отнести многие достаточно быстрые в обычном смысле процессы. Например, быстрые колебания в радиотехнических цепях с частотами порядка миллиона колебаний в секунду и даже выше очень часто еще можно рассматривать как квазистационарные.

Простыми примерами квазистационарных процессов могут служить процессы, происходящие в RC- и RL-цепях при подключении и отключении источника постоянного тока.

На рис. 5.1.1 изображена электрическая цепь, состоящая из конденсатора с емкостью C, резистора с сопротивлением R и источника тока с ЭДС, равной .

1

Рисунок 5.1.1. Цепи зарядки и разрядки конденсатора через резистор.

Если замкнуть ключ K в положение 1, то начинается процесс зарядки конденсатора через резистор. По закону Ома для квазистационарной цепи можно записать:

RJ + U = ,

где J – мгновенное значение силы тока в цепи, U – мгновенное значение напряжения на конденсаторе. Сила тока I в цепи равна изменению заряда q конденсатора в единицу времени: Напряжение U на конденсаторе в любой момент времени равно q / C. Из этих соотношений следует

 

Мы получили дифференциальное уравнение, описывающее процесс зарядки конденсатора. Если конденсатор вначале не был заряжен, то решение этого уравнения имеет вид

где τ = RC – так называемая постоянная времени цепи, состоящей из резистора и конденсатора. Величина τ является характеристикой скорости процесса. При t → ∞, U(t) → . Процесс зарядки конденсатора через резистор изображен на рис. 5.1.2(I). 

2

Рисунок 5.1.2. Зарядка (I) и разрядка (II) конденсатора через резистор.

Если после того, как конденсатор полностью зарядился до напряжения , ключ K перебросить в положение 2, то начнется процесс разрядки. Внешний источник тока в цепи разрядки отсутствует ( = 0). Процесс разрядки описывается выражением

U(t) =  exp (–t / τ).

 

Зависимость U(t) в процессе разрядки изображена на рис. 5.1.2(II). При t = τ напряжение на конденсаторе уменьшается в e ≈ 2,7 раза.

29) 63-65, 50

Теорема Гаусса — основная теорема электродинамики, которая применяется для вычисления электрических полей. Она выражает связь между потоком напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в объёме, ограниченной этой поверхностью.

В этом разделе мы рассмотрим важное свойство магнитного поля, существенно отличающего его от электростатического поля. Для электростатических полей введено понятие потенциальной энергии и потенциала. Это оказалось возможным благодаря тому, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю (формула (1.27)( Полная работа А на замкнутом пути выразится интегралом

(1.27)

(символом обозначают операцию интегрирования по замкнутому контуру). Эта работа должна быть равна нулю, следовательно

(1.28)

)). Выясним, чему равна циркуляция вектора магнитной индукции, создаваемой током, протекающим по проводнику, то есть найдем величину . Рассмотрим сначала наиболее простой случай магнитного поля бесконечного тонкого прямолинейного проводника с током. В качестве замкнутого контура, по которому мы будем вычислять циркуляцию вектора В, выберем окружность с центром на оси проводника (рис. 3.7).

Рис 3.7

Согласно закону Био-Савара-Лапласа вектор индукции dB всюду будет направлен по касательной к этой окружности. Численно его модуль определяется формулой (3.14). Исходя из этого

, (3.16)

то есть циркуляция вектора В пропорциональна силе тока, который охвачен выбранным нами замкнутым контуром. Нетрудно показать, что это соотношение остается в силе для любого произвольного замкнутого контура, охватывающего проводник с током произвольной формы. Если контур охватывает несколько токов I1, I2, I3 ... In, то согласно принципу суперпозиции для магнитных полей

(3.17)

Формула (3.17) выражает теорему о циркуляции индукции магнитного поля в вакууме (закон полного тока): циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых эти контуром. При вычислении алгебраической суммы токов положительным нужно считать ток, направление которого связано с направлением обхода контура в ходе интегрирования правилом правого винта. Из этой теоремы следует, что если контур не охватывает токов (или их сумма равна нулю), то циркуляция вектора В равна нулю.

Сопоставление выражений (1.27) и (3.17) для циркуляции векторов Е и В позволяет сделать вывод, что между электростатическим и магнитным полями существует принципиальное различие. Первое можно характеризовать понятием потенциала, отображающим потенциальную энергию поля. Линии Е для электростатического поля незамкнуты, они имеют начало и конец на электрических зарядах или в бесконечности. Линии индукции магнитного поля В не имеют начала и конца - они всегда замкнуты вокруг токов. Такие поля называют вихревыми (или соленоидальными). Магнитных зарядов, из которых исходили бы линии магнитного поля, не существует. Источником электростатического поля являются электрические заряды, и этот факт отображен в теореме Гаусса (формула (1.20)). Источником магнитного поля являются токи, и этот факт отображен в теореме о циркуляции магнитного поля (формула (3.17)).

Теорема о циркуляции вектора В позволяет избежать сложных вычислении при нахождении индукции магнитного поля в некоторых важных с практической точки зрения задачах. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое проводником с током, навитым виток к витку на цилиндрический каркас. Такая катушка называется соленоидом. Если длина катушки много больше ее диаметра, то в результате суммирования магнитных полей отдельных витков внутри соленоида образуется сильное однородное магнитное поле. Вне соленоида поле оказывается неоднородным и слабым, причем индукция В этого поля тем меньше, чем больше длина соленоида. Типичный вид линий магнитного поля соленоида показан на рис. 3.8.

Рис.3.8

Найдем поле внутри соленоида. Для этого выберем замкнутый контур в виде прямоугольника АВСDA (рис. 3.8), охватывающего N витков. Согласно теореме о циркуляции магнитной индукции

(3.18)

Замкнутый контур АВСDA включает в себя четыре участка. На участке ВС для длинного соленоида индукция В магнитного поля близка к нулю. На участках АВ и СD направления векторов dl и В перпендикулярны друг к другу, то есть B_l = 0. Таким образом, в (3.18) интегрирование по участку контура АВСD даст нуль, и лишь на внутреннем участке DA результат интегрирования будет отличен от нуля. Обозначим индукцию магнитного поля внутри соленоида В_с. Направление вектора В_с совпадает с направлением интегрирования dl на этом внутреннем участке. В результате (3.18) сведется к следующему:

, (1.19)

где l - длина участка DA. Из (3.19) получаем, что индукция магнитного поля в соленоиде равна

B_с = ₀IN/l (3.20)

Отношение N/l имеет смысл количества витков на единицу длины. Формула (3.20) справедлива, если внутренность соленоида не заполнена какой-либо средой.

На практике часто используются катушки, намотанные на тороидальную поверхность (рис. 3.9). Все магнитное поле в этом случае сосредоточено внутри тороида, и линии магнитного поля В представляют собой окружности с центром на оси тороида.

Рис.3.9

Для нахождения величины В воспользуемся теоремой о циркуляции магнитного поля и выберем замкнутый контур в виде одной из таких окружностей радиуса r. Пусть полное количество витков в такой катушке равно N, а сила тока - I. Подставляя все эти величины в формулу (3.17), получим

B2r = ₀NI,

откуда следует, что индукция поля внутри тороидальной катушки при отсутствии заполняющей ее среды равна

B = ₀NI/2r

Любой замкнутый контур вне тороида не охватывает токов или охватывает суммарный ток, равный нулю. Отсюда следует, что магнитное поле вне тороида отсутствует.