9. Равномерное движение по окружности.

Начальный уровень:

А1. Как направлена мгновенная скорость при криволинейном движении?

А2. Как направлено центростремительное ускорение при движении тела по окружности?

А3. По какой линии полетит камень, вращающийся на нити, если нить внезапно оборвется?

А4. Автомобиль движется по криволинейной траектории с постоянной по модулю скоростью. Можно ли утверждать, что его уско­рение в этом случае равно нулю?

А5. Что характеризует центростремительное ускорение при равно­мерном движении тела по окружности?

А6. Является ли линейная скорость постоянной величиной при рав­номерном движении тела по окружности?

А7. (89P) Частота вращения ветроколеса ветродвигателя 30 об/мин, якоря электродвигателя 1500 об/мин, барабана сепаратора 8400 об/мин, шпинделя шлифовального станка 96 000 об/мин. Вычислить их периоды.

А8. (90P) Найти частоту обращения Луны вокруг Земли.

Средний уровень:

Б1. Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 120 м со скоростью 36 км/ч. Чему равно центростремительное ускорение автомобиля?

Б2. Вал диаметром 20 см при вращении делает один оборот за 0,4 с. Определите линейную скорость точек на поверхности вала.

Б3. Колесо диаметром 50 см, двигаясь равномерно, проходит рас­стояние 2 м за 4 с. Какова угловая скорость вращения колеса?

Б4. Шлифовальный камень радиусом 30 см совершает один оборот за 0,6 с. Где расположены точки, имеющие наибольшую линей­ную скорость, и чему она равна?

Б5. Конькобежец движется со скоростью 12 м/с по окружности ра­диусом 50 м. Каково центростремительное ускорение при дви­жении конькобежца?

Б6. (103Р) Каково центростремительное ускорение поезда, движущегося по закруглению радиусом 800 м со скоростью 20 м/с?

Б7. (6.К) Колесо велосипеда имеет радиус 40 см. С какой скоростью едет ве­лосипедист, если колесо делает 120 об/мин? Чему равен период вращения колеса?

Б8. (104Р) Скорость точек экватора Солнца при его вращении вокруг своей оси равна 2 км/с. Найти период вращения Солнца вокруг своей оси и центростремительное ускорение точек эк­ватора.

Б9. (91P) Скорость точек рабочей поверхности наждачного круга диаметром 300 мм не должна превышать 35 м/с. Допустима ли посадка круга на вал электродвигателя, совершающего 1400 об/мин; 2800 об/мин?

Б10. (92P) Частота вращения воздушного винта самолета 1500 об/мин. Сколько оборотов делает винт на пути 90 км при скорости полета 180 км/ч?

Б11. (93P) Период вращения платформы карусельного стан­ка 4 с. Найти скорость крайних точек платформы, удаленных от оси вращения на 2 м.

Б12. (94P) Найти частоту вращения барабана лебедки диаметром 16 см при подъеме груза со скоростью 0,4 м/с.

Б13. (105Р) Период вращения молотильного барабана ком­байна «Нива» диаметром 600 мм равен 0,046 с. Найти скорость точек, лежащих на ободе барабана, и их центростремитель­ное ускорение.

Б14. (6.6Г) Автомобиль движется со скоростью v = 60 км/ч. С ка­кой частотой вращаются его колеса, если катятся по шоссе без скольжения, а внешний диаметр покрышек колес равен d = 60 см? Найти центростремительное ускорение а_цс внешнего слоя резины на покрышках его колес.

Б15. (106Р) С какой скоростью автомобиль должен проходить середину выпуклого моста радиусом 40 м, чтобы центростре­мительное ускорение равнялось ускорению свободного паде­ния?

Б16. (107Р) Рабочее колесо турбины Красноярской ГЭС им. 50-летия СССР имеет диаметр 7,5 м и вращается с частотой 93,8 об/мин. Каково центростремительное ускорение концов лопаток турбины?

Б17. (108Р) Найти центростремительное ускорение точек колеса автомобиля, если автомобиль движется со скоростью 72 км/ч и при этом частота вращения колеса 8 с ^-1.

Б18. (109Р) Две материальные точки движутся по окружности радиусами R1 и R2, причем R1 = 2R2. Сравнить их центро­стремительные ускорения в случаях: а) равенства их скоро­стей; б) равенства их периодов.

Б19. (110Р) Радиус рабочего колеса гидротурбины в 8 раз боль­ше, а частота вращения — в 40 раз меньше, чем у паровой турбины. Сравнить скорости и центростремительные ускоре­ния точек обода колес турбин.

Б20. (66Т) Когда скорость патефонной иголки относительно пластинки больше: в начале проигрывания пластинки или в конце?

Б21. (68Т) Определите траекторию движения материаль­ной точки, имеющей начальную скорость, если на нее действует постоянная по величине сила. Рассмотрите два случая: а) когда сила постоянна по направлению; б) когда ее направление меняется но остается все время перпендикулярным к скорости. В начальный момент в обоих случаях векторы силы и скорости перпендикулярны.

Б22. (69Т) Всели точки окружности ка­тящегося колеса имеют одинаковые скорости от­носительно земли?

Б23. (6.3Г) Диск радиусом R катится без скольжения с постоянной скоростью v. Найти геометрическое место точек на диске, ко­торые в данный момент имеют скорость v.

Б24. (71Т) Почему верхние спицы катящегося колеса иногда слива­ются для глаз, в то время как нижние видны раздельно?

Б25. (72Т) Как движется тело (рис.Б25), если две его точки А и В имеют неодинаковые скорости?

Достаточный уровень:

В1. Найти линейную скорость Земли при ее орбитальном движении средний радиус земной орбиты 1,5 ∙ 10⁸ км.

В2. Круглый диск радиусом R катится без скольжения по горизон­тальной плоскости со скоростью, равной v. Найти скорость то­чек А, В, С, D диска

Рис.Б25 в данный момент. Рис.В2

В3. Найти радиус вращающегося колеса, если известно, что линей­ная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше ли­нейной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса.

В4. Пропеллер самолета радиусом 1,5 м вращается при посадке с частотой 2000 мин ^-1, посадочная скорость самолета относитель­но земли равна 162 км/ч. Определите скорость точки на конце пропеллера.

В5. С какой скоростью и в каком направлении должен лететь само­лет над экватором на высоте h, чтобы для него Солнце находи­лось все время в одном и том же месте пространства?

В6. Какую поступательную скорость имеют верхние точки обода вело­сипедного колеса, если велосипедист едет со скоростью 20 км/ч?

В7. (95P) Какова скорость точек земной поверхности на широте Ленинграда (60⁰) при суточном вращении Земли?

В8. (96P) Радиус рукоятки колодезного ворота в 3 раза больше радиуса вала, на который наматывается трос. Какова ско­рость конца рукоятки при поднятии ведра с глубины 10 м за 20 с?

В9. (97P) Первая в мире орбитальная космическая станция, образованная в результате стыковки космических кораблей «Союз-4» и «Союз-5» 16 января 1969 г., имела период обраще­ния 88,85 мин и среднюю высоту над поверхностью Земли 230 км (считая орбиту круговой). Най­ти среднюю скорость движения станции.

В10. (98P) При увеличении в 4 раза радиуса круговой орбиты искусственного спут­ника Земли период его обращения уве­личивается в 8 раз. Во сколько раз изме­няется скорость движения спутника по орбите?

В11. (99P) Минутная стрелка часов в 3 раза длиннее секундной. Найти отношение скоростей концов стрелок.

В12. (111Р) Детский заводной автомобиль, двигаясь равномерно, прошел расстояние s за время t. Найти частоту вращения и центростремительное ускорение точек на ободе колеса, если диаметр колеса равен d. При возможности конкретные дан­ные задачи получите опытным путем.

В13. (74Т) Во сколько раз угловая скорость часовой стрелки больше угловой скорости суточного вра­щения Земли?

Высокий уровень:

Г1. Мальчик вращает камень, привязанный к веревке длиной 0,5 м в вертикальной плоскости, так, что частота равна 3 об/с. На какую высоту взлетел камень, если веревка оборвалась в тот момент, когда скорость была направлена вертикально вверх?

Г2. Первая в мире орбитальная космическая станция двигалась со скоростью 7,3 км/с и имела период обращения 88,85 мин. Счи­тая ее орбиту круговой, найти высоту станции над поверхно­стью Земли. Радиус Земли принять равным 6400 км.

Г3. (1.68ГГК) С какой скоростью v должен ехать автомобиль, чтобы сорвав­шийся с его колеса в точке А застрявший в шине камешек по­пал в ту же точку колеса, от которой

Рис.Г3 оторвался (Рис.Г3)? Радиус колеса 20 см.

Г4. (1.57ГГК) Катушка с нитью лежит на горизонтальном сто­ле и может катиться по нему без проскальзывания. Внутренний радиус катушки г, внешний R. С какой скоростью и будет пере­мещаться ось катушки, если конец

Рис.Г4 нити тянуть в горизонталь­ном направлении со

скоростью V? Рассмотрите два случая (см. рис.Г4 а и б). Рис.Г5

Г5. Гладкий диск радиусом R, плоскость которого горизонтальна, вращается вокруг своей оси. От поверхности диска отрывается небольшое тело, которое без трения скользит по нему. На каком расстоянии от оси оторвалось тело, если за время, пока оно со­скальзывало с диска, диск сделал полный оборот?

Г6. (6.4Г) Цилиндрический каток радиусом R помещен между двумя параллельными рейками. Рейки движутся в одну сторо­ну со скоростями v1 и v2 (рис.Г6). Определить угловую скорость вращения катка и скорость его центра, если проскальзывание отсутствует. Решить задачу для случая, ког­да скорости реек направлены в разные стороны.

Г7. (6.К) Гайку закручивают на болт за время t. Длина болта L, резьба со­ставляет угол α с плоскостью гайки. Найдите угловую скорость гайки, если радиус болта равен R. Рис.Г6

Г8. (100P) Движение от шкива I (рис.Г8) к шкиву IV передается при помощи двух ременных передач. Найти частоту вращения (в об/мин) шкива IV, если шкив I делает 1200 об/мин, а радиусы шкивов г1 = 8 см, г2 = 32 см, г3 = 11 см, г4 = 55 см. Шкивы II и III жестко укреплены на одном валу.

Г9. (101P) Циркулярная пила имеет диаметр 600 мм. На ось пилы насажен шкив диаметром 300 мм, который приводится во вращение посредством ременной передачи от шкива диамет­ром 120 мм, насаженного на вал электродвигателя. Ка­кова скорость зубьев пилы, если вал двигателя совершает 1200 об/мин?

Г10. (102P) Диаметр колеса велосипеда «Пенза» d — 70 см, ведущая зубчатка имеет z1 = 48 зубцов, а ведомая — z2 = 18 зубцов. С какой скоростью движется велосипедист на этом велосипеде при частоте вращения педалей n = 1 об/с? С какой

скоростью движется велосипедист на складном вело­сипеде «Кама» при той же частоте вращения педалей, если у этого велосипеда соответственно: d

Рис.Г8 = 50 см, z1 — 48 зубцов, z2 = 15 зубцов?

Олимпиадные задачи:

Д1. (1.62ГГК) Четыре черепахи находятся в углах квадрата со стороной а и начинают двигаться одновременно с одинаковой и постоянной по модулю скоростью v. При этом первая черепа­ха все время держит курс на вторую, вторая — на третью, третья — на четвертую, четвертая — на первую. Через какое время t черепахи встретятся? Ответьте на этот же вопрос для трех чере­пах, находящихся первоначально в углах равностороннего тре­угольника со стороной а.

Д2. (1.63ГГК) Заяц, ничего вокруг не замечая, бежит с постоянной скоростью по прямой тропинке вдоль поля, а на поле на расстоянии L от тропинки сидит голодная лиса. Она видит зайца, когда он находится в ближайшей к ней точке тропинки, и тут же пускается в погоню. Лиса бежит с такой же по величине скоростью, что и заяц, и при этом все время «держит курс» на зайца. Через некоторое время расстояние между лисой и зайцем практически перестало изменяться. Каким стало это расстояние?

Д3. (1.64ГГК) Через какое время t лиса догонит зайца (см. задачу Д2), если скорость лисы u превышает скорость зайца v?

1.
В1		4км, 4км, 8км, 0
В2		6м, 2м
В3		70км, 50км
В4		628м, 400м,1256м, 0м
В5		3,13м; 2,83м; 6,28м; 4м; 12,56м; 0м
В6		600м, 424м
В7		6,28км; 4км; 12,56км; 0; 25, 12км; 0
В8		98м; 0; 49м; 35м
В9		В π/2 раз; в π/3 раз
Г1		35,7м; 21,2м
Г2		В 1,57 раза
Г3		2,8км; 300к направлению на север
Г4		7км; 5км
Г5		620м;200к направлению на север
Г6		70км; ≈55км
Г7		2,5км; 2,5км
Г8		22км;≈10км;≈5,6км; 8км
2.
А1		20м/с		Б1	5м/с
А2		54км/ч		Б2	50с
А3		36км/ч		Б3	8м/с
А4		450м		Б4	50ч
А5		8км/ч		Б5	64с
А6		20с		Б6	90км/ч
В1		4м/с; -4м/с
В2		1м/с; 1м/с
В3		2с; 14м
В4		7,5с; 18м
В5		10с; 50м
В6		0,5с; 3м
В7		а)600м; б)50м;150м; в)30с; г)-25с; д)500м
В8		12м/с вправо; 1,5м/с влево; 20с; -30м
Г5		[0; 4мин 10с]; [0; 2мин]
Г6		15км/ч
3.
Г1		2с; 12м
Г2		1,6с; 4,8м
Г3		3с; 9м
Г4		1с; 6м
Г5		2,24м/с
Г6		Нет
Г9		20с; 400м
Г10		а)20с; 200м; б)300м; в)100м; г)10с; 30с
4.
Б7		150км/ч
Б8		20км/ч; 20км/ч
Б9		40км/ч
Б10		90км/ч
Б11		12м/с; -8м/с
Б12		а) 40м/с; б)0; в) 20√2м/с
Б13		10с
Б14		490м
Б15		2мин
Б16		19км/ч; 17км/ч
Б17		2ч; 4ч
Б18		а)вниз 0,75м/с;б)1,5м/с
Б19		20с
Б20		13см/мин
Б21		22м/с; 270 к востоку от меридиана
Б22		600м/с
Б23		Одинаково
Б24		30км/ч
Б25		tg α = v1/v2
Б26		v02 = v12 + v22
В2		Да
В3		10м/с; 0; 5м/с; -5м/с
В4		2,5ч; 150км
В5		1ч
В6		1,5ч; 30км
В7		5м/с
В8		12ч
В9		7,5км/ч; 17,5км/ч
В10		45с
В11		1,5мин
В12		100
В13		8/15
В14		1,5мин
В15		6ч
В16		6ч 15мин
В17		2км/ч
В18		В (n+1)/(n-1) раз;3;12
В19		200м
В20		0,5см/мин
В21		70,50; 5,7м/с
В22		19,3м/с; 21,50 к востоку от меридиана
В23		174км/ч; 4027’ к меридиану на СЗ
Г2		В 7 раз
Г3		0,5 ч
Г4		Одновременно
Г5		vB=vA(ОА/ОВ), где О – точка встречи
Г6		4км/ч; 16км/ч
Г7		1.1м/с; 0,5м/с
Г8		45км/ч
Г9		100
Г10		35мин
Г11		Δt=2v12s/(v2(v22-v12))= 4с
Г12		t1=n1L1 / (v1+v2); t2=n2L2 / (v1+v2)
Г13		90км/ч
Г14		450м
Г15		L’=L(v - u)/(v + u)
Г16		x’=400 – 10t
Г17		a) x1=2t; x2=200-2t б) x1=6t; x2=200+2t в) x1=-2t; x2=200-6t
Г18		1,4м/с; 3,4м/с; 2,6м/с
Г19		β=arcsin(v ∙ sinα / u)
Г20		u = v / cos α
Г21		u = v / cos α
Г22		vB = vA ctg α = 17,3см/с; OB=(L2-v2t2)1/2; vB=v2t /( L2-v2t2)1/2
Д2		19 ударов; 0,5м/с
5.
А1	60км/ч		Б1		14км/ч
А2	30км		Б2		7,65км/ч
А3	32км/ч		Б3		48км/ч
А4	2км/ч		Б4		50км/ч
А5	22км/ч		Б5		40км/ч
А6	2км/ч		Б6		45км/ч
В1	4км/ч
В2	61,5км/ч
В3	54км/ч
В4	6,4км/ч
В5	7,2км/ч
В6	6км/ч
В7	72км/ч; 9км/ч
В8	50км/ч
Г1	0; 45км/ч
Г2	0; 48км/ч
Г3	(v2 - u2)1/2 / v
Г4	7км/ч
Г5	40км/ч
Г6	4км/ч
Г7	1,25
Г8	6с
Г9	v1=v2; t2<t1
6.
Б1	8м/с			Б9	10м/с
Б2	25с			Б10	20с
Б3	2м/с			Б11	4м/с
Б4	2м/с2			Б12	0,4м/с2
Б5	2м/с2;15с			Б13	0,6м/с2
Б6	1м/с2;1м/с2
Б7	0,5с			Б14	50с
Б8	50с			Б15	7м/с
7.
Б1		При V0=0
Б2		Нет
Б3		5м/с2;1м/с;2м/с; 3м/с; 4м/с
Б4		25м
Б5		32,4м
Б6		10с
Б7		2:1; 2:1
Б8		90см
Б9		715м/с
Б10		50м
Б11		360м; 24м/с
Б12		x=3t2; 300м
Б13		Ускор.; -5м; 5м
Б14		а)0,4м/с2; 14м/с; б)0; 10м/с; в) 0,4м/с2; 6м/с
В1		2.25м/с2; 6,7м/с
В2		1,8мс; 2,2∙105м/с2; 283м/с
В3		2м/2с
В4		5м; 7м
В5		1,3м
В6		5м/с
В7		22м/с2; 0,33м/с
В8		9с
В9		t2=t1(S2/S1)1/2
В10		В 1,41 раза
В11		100м/с2
В12		в 1,24р меньше; в 1,46р больше
В13		S2=S1(v2/v1)2=54м
В14		а)в 3 раза; б)в √3 раз
В15		2м/с; 8м/с
В16		0,2м/с2; 15м/с
В17		1,8мс; 2,21∙105м/с2; 282м/с; 32см
В18		а)10с;40м; б)45м;в)120м
В19		3с; 7,8м
В20		3с; 5с; 24м; 40м
В21		7м/с
Г1		0,45м/с; 0,3м/с2
Г2		1м/с; 2,5м/с2
Г3		3,2м/с2; 13,6м/с
Г4		5см/с2
Г5		За вторую
Г6		3,75км
Г7		L/9; L/3; 5L/9
Г8		t=(t22+2t1t2-t12)/(2t1-2t2)
Г9		v=5L/(6t)
Г10		8м/с; 0,8м/с2; 1,6м/с2 (замедл.); 15с; 4м/с
Г11		2,6м/с
Г12		v = 2uср t/(2t-t1)=80км/ч
Г13		v = (La)1/2
Г14		45см/с; 30см/с2
9.
А7			2с; 0,04с; 7,1мс; 625мкс
А8			4,2∙10-7об/с
Б1	0,83м/с		2
Б2	1,57м/с
Б3	2рад/с
Б4	1,57м/с
Б5	2,88м/с2
Б6	0,5м/с2
Б7	5м/с; 0,5с
Б8	25,3сут; 5,7мм/с2
Б9	Да; нет
Б10	45000
Б11	3,14м/с
Б12	0,8с-1
Б13	41м/с; 5,6км/с2
Б14	8,84с-1; 926м/с2
Б15	20м/с
Б16	360м/с2
Б17	1км/с2
Б18	а)1:2; б)2:1
Б19	1:5; 1:200
В1	180∙103км/ч
В2	0; ωR√2; 2ωR; ωR√2
В3	8,3м
В4 В5	317м/с v=( Rз + h )/(2h)
						v=( Rз + h )/(2h)
В6	40км/ч
В7	230м/с
В8	1,5м/с
В9	7,8км/с
В10	Уменьшится в 2 раза
В11	1:20
В12	S / (πdt); 2S2/(dt2)
В13	В 2 раза
Г1	4,5м
Г2	2,2∙105м
Г3	v=2,5√k; k – число оборотов (целое)
Г4	а) u=Rv/(R-r); б) u=Rv/(R+r)
Г5	r=R/(4π2 + 1)1/2
Г6	v=0,5(v1±v2); ω=(v1 -+ v2)/2R
Г7	ω=L/(Rτ tgα)
Г8	60об/мин
Г9	15м/с
Г10	5,9м/с; 5м/с
Д1	t=a/v; t=2a/(3v)
Д2	L/2
Д3	t=uL/(u2 – v2)

27