4. Аппроксимация методом наименьших квадратов.

Для изучения сущности метода наименьших квадратов рассмотрим один простейший пример аппроксимирования.

Экспериментальная зависимость старения простейшего вида (рис 3.6) имеет вид S(t) = k∙t (3.37)

Рис. 3.6. Пример аппроксимации методом наименьших квадратов.

Угловой коэффициент K определяется элементарно:

(3.38)

В формуле (3.38) m_s, m_t – масштабные коэффициенты необходимо тогда, года по осям S и t используются разномасштабные шкалы.

Следовательно, уравнения прямой (рис. 3.6) будет иметь вид

(3.39)

Теперь определим значения параметра К из условия минимума суммы квадратов отклонений аппроксимирующих значений от экспериментальных S_i.

Это формулируется следующим образом:

(3.40)

В связи с тем, что искомый параметр один, нет необходимости в составлении и решении системы уравнений.

Выразим экспериментальную ординату через абсциссу:

S_i = k t_i (3.41)

подставим в уравнение (3.40):

(3.42)

Наложим на условие (3.42) требования, чтобы оно удовлетворяло всем значениям зависимой S и не зависимой K переменных. Второе требование нахождение минимума суммы квадратов – определим дифференцированием уравнение (3.42) по параметру K и нахождению экстремума приравниванием производной к нулю:

(3.43)

Раскрываем выражение в скобках, после преобразований получим

(3.44)

По уравнению (3.44) вычислим параметр

(3.45)

Для вычисления К составим вспомогательную таблицу (рис. 3.8). Подсчитав полученные суммы (табл. 3.8), вычислим

(3.46)

Отклонений значений K от полученного методом выбранной точки

(3.47)

Это составляет примерно 0,5^° – 0,8^°, т.е. находится в пределах точности измерения угла на графике. Поэтому при использовании угломерного инструмента нужно помнить о невысокой точности измерения.

Таблица 3.8

ti	Si
10	70	55	100	550
25	116	133	625	3325
37	210	200	1369	7400
50	260	270	2500	13500
60	325	325	3600	19500
71	392	383	5041	21193
78	417	430	6084	33540
19319 105008

Точнее получится, если выбрать на прямой (рис.3.6) точку M и измерить абсциссу и ординату:

K = 300 / 56 = 5,357 (3.48)

Таким образом, метод наименьших квадратов дает весьма точные результаты, но он весьма трудоемкий.

Современные цифровые вычислительные машины оснащены стандартной программой «метод наименьших квадратов», что существенно облегчает проведение расчетов.

Хорошие результаты, как было показано выше, дают методы выбранных точек и выравнивания, подкрепленные процедурой уточнения вычислительных параметров.