Дополнительные задачи и упражнения

1. Доказать, что для любого k, существует перестановка из n чисел, которая имеет k инверсий.

2. Как изменится определитель (nxn) - матрицы, если все её столбцы записать в обратном порядке ?

3. Доказать что кососимметрический определитель нечётного порядка равен нулю.

4. Доказать, что если (nxn) - матрица имеет больше n² - n нулевых элементов, то её детерминант равен нулю .

5. Как изменится детерминант (nxn)-матрицы, если каждый её элемент заменить симметричным относительно второй диагонали ?

6. Все элементы главной диагонали (nxn) - матрицы равны нулю , а все остальные элементы отличны от нуля. Сколько членов, равных нулю, имеет детерминант такой матрицы ?

7. Доказать , что детерминант А квадратной матрицы n-го порядка с элементами 1 не превышает : а) n!; б) (n-1)(n-1)! (n3).

8. Докажите, что разложение Лапласа по k строкам совпадает с разложением по остальным n - k строкам.

9. Доказать, что произвольный детерминант равен полусумме двух детерминантов, один из которых получен из данного путем прибавления ко всем элементам какой нибудь строки числа p, а другой - путем прибавления ко всем элементам той же строки числа - p.

10. Доказать, что если в детерминанте n-го порядка все миноры k-го порядка (k<n) равны нулю, то и все миноры больших порядков равны нулю.

3. Алгебра матриц

Понятия:

1) произведение матриц;

2) сумма матриц;

3) произведение матрицы на число;

4) единичная матрица;

5) обратная матрица;

6) элементарные матрицы.

Факты:

1) свойства операций над матрицами:

- коммутативность сложения;

- ассоциативность сложения;

- ассоциативность умножения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения (левая и правая);

- дистрибутивность умножения на число относительно сложения;

- связь между умножением матриц и умножением их на число;

2) теорема об определителе произведения матриц;

3) критерий существования обратной матрицы;

4) связь между элементарными преобразованиями матриц и элементарными     матрицами.

С матрицей- прямоугольной таблицей, составленной из чисел, мы встретились еще в первой теме. Однако, это понятие применялось, в основном, для упрощения записи системы линейных уравнений. Подобно тому как операции над числами открывают неограниченные возможности в использовании числовых систем, разумное введение операций над матрицами сделало матричный аппарат одним из самых мощных средств, используемых во всех областях математики. На первом этапе мы ограничимся изучением матриц с числовыми элементами.

Две матрицы равны, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны: т. е. если - (mxn)-матрица, т.е. матрицы, содержащие строк и столбцов, - (pxs)-матрица и то: и .

Действия сложения матриц (одинаковых размеров!) и умножения матриц на число обычно не вызывают затруднений. Если - -матрицы, - число, то .

Обратим внимание не только на естественность, но и на полезность таких действий. Известно, что при умножении вектора на скаляр его координаты умножаются на этот скаляр, а при сложении двух векторов его соответствующие координаты складываются. Взаимно однозначное соответствие, существующее между векторами и упорядоченными последовательностями их координат, позволяет сопоставить каждому вектору матрицу-столбец его координат . Это соответствие не нарушается при сложении векторов и при умножении вектора на число.

А вот умножение матриц, на первый взгляд, вводится не совсем естественно. Если ‑матрица, ‑матрица, то их произведение будет ‑матрицей, причем

, .

Проиллюстрируем умножение матриц следующей схемой:

Например,

.

Пример 1. Вычислить произведение АВ матриц .



.

Произведение же получить нельзя, так как число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А . 

Далеко идущий пример последовательного применения двух линейных преобразований координат точки на плоскости при повороте прямоугольной декартовой системы координат сначала на угол : а затем, на угол :

указывает на целесообразность данного нами определения умножения матриц. В самом деле, первому повороту системы координат соответствует матрица , второму - матрица

Матрица , соответствующая повороту на угол , равна

Обратную матрицу можно отыскать на основании ее определения, как такую матрицу X, которая для заданной матрицы A удовлетворяет условию AX=XA=E. Для этого прийдется решить систему линейных уравнений с неизвестными, построенную на основании матричного уравнения (что, впрочем, приводит к довольно громоздким вычислениям.) :

Следует обратить внимание на то, что необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы для матрицы является невырожденность, т.е. должен быть отличен от 0.

Существует несколько способов вычисления обратной матрицы. В учебнике доказано, что , где - присоединенная матрица к матрице . Если , то Здесь ‑ алгебраическое дополнение к элементу матрицы . Оно строится из определителя матрицы A вычеркиванием i-той строки, j-того столбца и берется со знаком . Обратите внимание на то, что алгебраические дополнения для столбцов матрицы становятся строками матрицы .

Пример 2. Пусть , найти .

 Так как , то существует. Последовательно находим:

Следовательно, Проверкой убеждаемся, что . 

Обратную матрицу можно находить, обратившись к линейным преобразованиям неизвестных. А именно, квадратная матрица n-го порядка определяет линейное преобразование неизвестных:

(1)

С помощью метода Гаусса выражаем через , т.е. находим линейное преобразование неизвестных, обратное преобразованию (1). Матрица такого преобразования и будет искомой матрицей , обратной матрице .

Пример 3. Найти матрицу , обратную матрице .

 Данная матрица определяет линейное преобразование неизвестных

Обратимся к расширенной матрице, которая получается добавлением к матрице A столбца из неизвестных :

Применяя метод Гаусса, последовательно имеем: вычитаем из второй строки расширенной матрицы ее первую строку, умноженную на 2, и из третьей строки- первую строку, умноженную на 3. Затем вычитаем из третьей строки полученной матрицы ее вторую строку, умноженную на 2.

П роцесс закончен и мы выражаем через :

Отсюда. 

При решении матричных уравнений вида или , если невырождена следует обе части уравнений в первом случае слева, а во втором -справа умножить на . В результате, мы получим или .

Пример 4. Решить матричное уравнение

 Уравнение имеет вид . Поскольку то существует и равна , получим . 

Пример 5. Найти все матрицы Х второго порядка, удовлетворяющие уравнению

.

 Метод описанный выше, здесь не пригоден, так как матрица вырожденная. Воспользуемся методом, который всегда приводит к решению матричных уравнений.

Представим матрицу Х в виде . Имеем или после перемножения получим .

Откуда и . Обе системы совместны, причем в каждой системе второе уравнение можно отбросить и считать второе неизвестное свободным. Таким образом, получаем, что - общее решение первой системы, - общее решение второй системы. Полагая , получаем следующий вид матрицы Х, удовлетворяющий данному уравнению: , где - произвольные числа. 

Контрольные вопросы.

1. Верно ли, что детерминант суммы матриц равен сумме детерминантов?

2. Выполняются ли для матриц соотношения:

a) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ?

3. Чему равен детерминант произведения

а) ; б) ?

4. Верно ли что если A, B- вырoжденные матрицы, то AB, A+B - вырoжденные матрицы?

5. На какие правила действий над матрицами следует опираться при доказательстве равенства детерминанта произведения трех матриц произведению их детерминантов?

6. Известно, что AB=0. Означает ли это, что A=0 или B=0 ?

7. Известно, что AB=E. Означает ли это, что BA=E ?

8. Пусть A - невырoжденная симметрическая матрица. Будет ли симметрической матрица ?

9. Является ли симметрической матрица ?

10. Образуют ли группу все -матрицы с действительными элементами

а) относительно умножения; б) относительно сложения?

11. Может ли быть группой относительно умножения некоторое множество вырожденных матриц ?