Контрольные задания

Найти решение системы линейных алгебраических уравнений . Для этого реализовать метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Оценить относительную погрешность полученного решения. Матрицу А и вектор b взять по номеру своего варианта, заменяя значение n номером своего варианта.

1–5.

6–10.
11–15.
16–20.
21–25.
26–30.

4. Интерполяция таблично заданных функций Справочная информация

Интерполяцией называется приближение функции, значения которой заданы в виде таблицы, некоторой другой функцией, которая имеет аналитическое описание и которая совпадает с исходной при табличных значениях аргумента.

Простейшая задача, приводящая к интерполяции функций, заключается в следующем. В дискретные моменты времени x₁, x₂,..., x_n измеряется значение некоторой физической величины y, то есть наблюдается зависимость функции y от аргумента x, и строится таблица

x	x1	x2	...	xn
y	y1	y2	...	yn

По этой таблице требуется восстановить значения функции при любых других значениях аргумента x из отрезка [x₁, x_n] или подобрать аналитическое выражение для приближающей функции y(x) достаточно простого вида, значения которой совпадали бы с заданными в таблице

.

Г

Рис.1.

Рис 1.

еометрический смысл задачи состоит в том, что через точки, которыми отображаются табличные значения аргумента и функции на поле декартовой системы координат x0y, как это показано на рис.1, и которые называются узловыми точками или узлами интерполяции, необходимо провести, по крайней мере, непрерывную линию, подобрав для неё аналитическое описание.

В зависимости от требований, которые накладываются на приближающую функцию, могут применяться различные формы её представления: линейная, квадратичная, кубическая или более высокого порядка. К простейшим из них относятся кусочно-линейная интерполяция, интерполяция кубическим сплайном и интерполяция многочленами, в частности, многочленом Лагранжа и другие.

Интерполяция многочленами

В общем виде задача интерполяции многочленами формулируется следующим образом: пусть на отрезке [a, b] таблично задана функция y = f(x) в n точках, то есть заданы значения аргумента x₁, x₂, ..., x_n и известны соответствующие им значения функции y₁, y₂, ..., y_n . Требуется построить степенной полином вида

P_n(x)= a₁ + a₂x + a₃x² + ... + a_nxⁿ ,

значения которого в точках x₁, x₂, ..., x_n совпадает со значениями табличной функции

P_n(x_i)= y_i = f(x_i).

Такой полином всегда существует и оказывается единственным. Для вычисления значений его коэффициентов можно использовать условие равенства значений полинома и таблично заданной функции в узлах интерполяции. Это позволяет записать систему из n линейного алгебраического уравнения относительно переменных a₁ , a₂, a₃, ... a_n вида:

которая может быть разрешена любым из известных методов решения систем линейных алгебраических уравнений.

Использование такого подхода имеет и ряд недостатков. Во-первых, с увеличением количества узлов интерполяции n пропорционально возрастает и степень системы линейных алгебраических уравнений, а следовательно, к пропорциональному усложнению ее решения. Во-вторых с ростом n возрастает вероятность «биения» функции между узлами интерполяции за счет членов полинома с высшими степенями.

Ниже на рис.2 представлен фрагмент рабочей книги Excel с реализацией интерполяции многочленом

.

Рис 2.

Многочлен Лагранжа (J.L.Lagrange, 1795)

Представляет собой случай полиномиального представления приближающей функции, когда она ищется в виде линейной комбинации базисных функций _k(x), которые должны быть определены для всего отрезка интерполяции [x₁, x_n], линейно независимы, и их количество должно быть равно числу узлов таблично заданной функции

.

Коэффициенты a₁, a₂, ..., a_n определяются исходя из условий равенства значений приближающей и исходной функций при табличных значениях аргумента, что сводит задачу к системе n линейных алгебраических уравнений относительно них, а в качестве функций _k(x) используются полиномы (n–1) степени

,

которые для пяти узловых точек записываются в виде

,

,

,

,

.

Для каждого полинома характерно то, что для всех значений x_i в узловых точках он принимает нулевые значения, кроме k-ой, где его значение равно единице.

Графики этих полиномов пред­ставлены на рис.3. П Рис.3. ри таком выборе базисных функций коэффициенты приближающей функции оказываются ординатами таблично заданной функции, а сама она приобретает харак-

Рис.4.

терный для многочлена Лагранжа вид:

.

Процесс построения интерполирующего многочлена Лагранжа для пяти узловых точек показан на рис.5.

Рассмотрим работу метода на приведенном выше примере. Сначала строятся четыре базовых полинома:

,

,

,

.

Они позволяют записать интерполирующий многочлен Лагранжа в виде

Для аргумента x = 1.6 многочлен Лагранжа даёт

Ниже на рис.5 представлен фрагмент рабочей книги Excel с реализацией интерполяции с помощью многочлена Лагранжа.

Рис.5.

Как видно из рисунка для аргумента x = 1.6 многочлен Лагранжа дал значение 0.528.

Для контроля правильности вычислений многочлена Лагранжа полезно строить графики базовых полиномов. Для рассматриваемого примера они приведены на рис.6.

Рис.6.