3. 5. 3. Полярная система координат

Определение 1. Полярной системой координат (ПСК) называется совокупность фиксированной точки (начала координат) и выходящего из него луча (полярной оси). В ПСК каждой точке плоскости сопоставляются её полярные координаты (или ).

Установим связь между ПСК и ДПСК-2, совместив начала координат, а полярную ось направим вдоль оси . Тогда полярные координаты точки связаны с координатами точки в ДПСК-2 соотношением

, , где , .

Координатные линии – концентрические окружности и лучи . Каждой точке плоскости (за исключением точки , для которой , а не определено) соответствует пара чисел , и обратно. Расстояние точки от точки (полюса) называется полярным радиусом, а угол – полярным углом.

Формулы задают переход от полярных координат к декартовым . Рассмотрим обратный переход. Пусть точка задана в полярной системе координат. Тогда . Для нахождения значения введём вспомогательный острый угол . Значение определяется с учётом четверти, в которой находится точка , и выбранной системы:

1. ;

   рис. 3.8

2. ;

рис. 3.9

3. 5. 4. Тригонометрическая форма комплексного числа

Мы можем рассматривать полярные координаты точки, изображающее комплексное число , как модуль и аргумент этого числа. Таким образом, , =. Тогда, учитывая , , получим тригонометрическую форму числа :

.

Пример. Найти модуль и аргумент числа .

Решение:

,,,

рис. 3.10

Данная форма комплексного числа удобна для выполнения умножения и деления комплексных чисел, для возведения в степень и извлечение корня n-й степени.

Рассмотрим произведение:

Таким образом, при умножении комплексных чисел модули их перемножаются, а аргументы складываются. Аналогично:

(показать самостоятельно).

Возведение числа в n-ю степень можно рассмотреть как произведение одинаковых множителей. Тогда получим формулу Муавра: .

Пример. Найти , если .

Решение:

Сначала представим в тригонометрической форме:

, .

. Тогда

.

Определение 6. Извлечь корень n-й степени из числа – найти такое число , что .

Пусть , а . Тогда .Отсюда получим: , .

Решим систему уравнений:

.

Таким образом, , при , при . Т.е. и при и при совпадают, и различные корни будут только при . Таким образом, решение уравнения можно записать ,. Это решение имеет различных значений, которые лежат на окружности радиуса и делят её на равных частей, каждая из которых получается поворотом на против часовой стрелки относительно .

Замечание. Обозначение не имеет однозначного смысла, поэтому лучше его избегать.

Пример. Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни уравнения .

Решение:

Сначала число представим в тригонометрической форме: ,

,

.

Тогда , . : ;

: ;

: ;

: .

Заметим, все корни лежат на окружности радиуса .